A propos du point de rosée

Publié le par Mayar

Portrait de Pierre de Ronsard par Séraphin Delpech

Mignone, allons voir si la rose
Qui ce matin avait déclose
Sa robe de pourpre au soleil,
A point perdu cette vesprée,
Les plis de sa robe pourprée,
Et son teint au vôtre pareil.

Odes, I,17 (extrait), de Ronsard-l’abstinent, assumant à 26 ans et devant l’éternel son flagrant délit de flagornerie d’une jeune fille de 6 ans sa cadette.

Ce que Ronsard-le-clerc-tonsuré-et-à-moitié-sourd ne dit pas, c’est qu’à force de tirer un fil de la belle, il vient une pelote, au risque d'écoper d'une calotte !

Ci-fait, notre p'tit bout de fil innocemment tiré à propos de pression de vapeur saturante s'est transformé par curiosité et nécessité[1] en une sacrée pelotte! De fil en aiguille, il y a largement matière à tisser un dossier complet...

  • Pression de vapeur saturante
  • Point de rosée
  • Modèle(s) d’atmosphère
  • Exemple de dérivation du climat in situ depuis une station météo
  • Propriétés thermodynamiques de l’air sec
  • Propriétés thermodynamiques de l’eau (liquide et vapeur)
  • Propriétés thermodynamiques de l’air humide

1. Enjeux

On nous bassine régulièrement avec le point de rosée. Mais, honnêtement, ça sert pas à grand-chose mis à part que « ça parle plus avec les mains » que l’humidité relative en fonction de la température.

Aïe, ok, ok, j’exagère un peu ! (C'est qu'elle a des épines pointues, c'te rose!)

Je voulais dire que, quand on cause performance énergétique du bâtiment, le point de rosée n’apporte fondamentalement rien de plus que les courbes de pression de vapeur Pvap et Pvsat(T). Ou la courbe d’humidité relative %HR = Pvap/Pvsat(T)

En météorologie, c’est une autre histoire. Ça sert par exemple à déterminer vers quelle altitude les nuages commencent à se former. Et ça, rien qu’avec la température et le point de rosée au niveau du sol. Balaise, n’est-ce pas ?

Bon, il y a quand même un impact indirect sur nos calculs de coins[2] de table relatifs au bâtiment. En effet, ça joue sur la façon de transposer in situ les données climatiques/météo depuis une station météo de référence. Du moins, dès lors qu’on ne se contente pas d’appliquer aveuglément le modèle d’atmosphère standard ISA.
Oups, je vous ai perdu? Ne vous frappez pas, on y reviendra posément dans un article dédié.

Pack déco de table coincoin le canard

Concrètement, nous allons avoir besoin du point de rosée et de sa variation approximative avec l’altitude (son gradient, quoi). Et d’un coincoin de table :-)

Avant de faire canard dans ce sujet, faisons un p’tit pas en arrière. Ou deux. Ca fera un plus joli plongeon :-)

Tout ceci n’est-il pas déjà couvert en long, en large et en travers dans la littérature « de base » et wikipédia ?

Hé hé, excellente question !
Mmmh… Comment dire… Ce n’est pas en répétant à l’envi une chose (un peu) fausse que ça la rend plus juste. Dès qu’on gratte le vernis, on découvre que la littérature "tout venant"  cumule des approximations surprenantes et des hypothèses...ahem...discutables.

  • La notion de point de rosée est intimement liée à la pression de vapeur saturante, ok.
    Or, dans notre article sur Pvsat, on a montré que Clapeyron, Rankine, et Antoine sont entichés d’erreur importante, et divergent carrément dans les températures négatives ! C’est peut-être très bien pour faire simple, « en gros pas trop près », ou pour l’aspect historique. Mais si c’est pour bosser dans la vraie vie avec 2-3 chiffres significatifs, gaffe à la peau de banane! Illustration

  • Bernouilli oblige, la masse volumique de l’air intervient indirectement dans le gradient du point de rosée. On se dit illico qu'assimiler l’air humide à de l’air sec pour la masse volumique, ça se discute (5 % d’erreur à 30°C). Ensuite, quand on parle de gradient thermique, faire comme si la masse volumique de l’air sec était constante alors qu’elle varie significativement selon la température, ça devient de la licence poétique rock’n’roll !

  • Au niveau du sol, le plus souvent, l’air n’est pas saturé d’humidité[3]. Dans ces conditions, user et surtout abuser de formules basées sur de l'air humide saturé, euh... c'est l'école du Cirque?...

https://www.funidelia.lu/costume-langouste-pincettes-pour-adulte-29509.html

Après, il ne faut pas trop s’étonner d'écarts bizarroïdes et autres recettes de cuisine qui fleurissent sur internet et ailleurs, jusque dans des supports de formation (gloups!). Or, à  moins d’un calcul d’erreur (jamais fourni...), on ne sait plus trop où on met les pieds parmi toutes ces formules à prendre avec des pincettes (clac! OUAÏLLE!).

Or donc, quitte à squatter un coin (coin!) de table, c'est mieux de s'assurer que ladite table est propre et ne déborde pas de bazar inutile en équilibre instable.

2. Définition du point de rosée

C’est quoi donc?
Pour le blabla à rallonge, voyez wikipédia. Version courte en notant le point de rosée Td (d comme dew point en anglique):

Pvsat(Td) = Pvap
Pvap = %HR . Pvsat(T)

Voilà.

Fin de l’article.
.
.
.
Hey, revenez, je blaguais !

3. Formulation du point de rosée

Comme déjà dit, moult formules sont obsolètes, voire obsolètes et bidouillées, jusque dans des supports de cours -admirables par ailleurs. Sincère condoléances.
(Non, je n’ai pas d’actions chez Kleenex…)
Cela dit, le but de cette causerie n’est nullement de se borner à vilipender ou s’éplorer. Allez, hop, au boulot !

Concrètement, on cherche une formulation du point de rosée cohérente avec celle qu’on a préalablement retenue pour la pression de vapeur saturante. Pour mémoire, Pvsat selon Buck96 est de la forme :

Pvsat(T) = p0.e(a-T/b) . T / (c + T)

Avec un jeu de constantes (a, b, c) pour la pression de vapeur saturante en équilibre avec la glace (en gros T<0°C), et un autre jeu de 3 constantes pour Pvsat sur eau liquide (en gros T>0°C). Et alors, c’est quoi le point de rosée correspondant ? Facile, y’a qu'à demander.

Y'a-t-il un pilote dans l'avion : échange radio entre la tour de contrôle, le capitaine Clarence Oveur, et le copilote prénommé Roger
Y'a-t-il un pilote dans l'avion : échange radio entre la tour de contrôle, le capitaine Clarence Oveur, et le copilote prénommé Roger

Moi : What about the dew point ? Do you copy, Buck ?
Buck : Roger ! Here it is, you have clearance to use it.
Moi : Overkind ! Thank you Mister Arden Buck. Bidi-bidi-over.

Buck Rogers (série télé)
Buck Rogers (série télé)

(Désolé, j'ai pas pu m'en empêcher smiley ironique)

Point de magie dans Buck96 ni aucune approximation bizarroïde, comme on va le voir en redémontrant son résultat. Pour ça, il suffit d'écrire la définition de Td, puis y injecter la formule de Pvsat selon Buck96.

Pvap = Pvsat(Td) = p0.e(a-Td/b) . Td / (c + Td)
<=> ln(Pvap/p0) = (a-Td/b) . Td / (c + Td)
<=> (c + Td).ln(Pvap/p0) = a.Td-Td²/b
<=> Td²/b + (ln(Pvap/p0)-a)*Td+ c.ln(Pvap/p0) = 0
<=> Td² + 2*b/2*(ln(Pvap/p0)-a)*Td+ 2*c.b/2*(a+ln(Pvap/p0)-a) = 0
<=> Td² - 2.αvap.Td+ 2*c.( a.b/2 - αvap) = 0
en posant αvap = b/2*(a-ln(Pvap/p0))

smiley moqueurOuh là là, une équation du 2e degré, rendez-vous compte, mais c’est inhumain, ça !
On pose Δ’ = αvap² + c.(2*αvap - a.b)
Et il vient Td = αvap-√Δ’

Voici l’expression complète, version « Salade de fruit, jolie jolie, jolie »

Formulation du point de rosée

Formulation du point de rosée

Alors, oui, j’en convient tout à fait, cette salade n’est pas tant gourmande. Notez qu’elle est tout de même un tantinet plus digeste que la formulation assez rugueuse d’Arden Buck !
Au cas où on en ait besoin – et on en aura besoin, on peut calculer la réciproque de Td(αvap) :

=> (Td - αvap )² = α²vap + c.(2αvap -a.b)
<=> Td² -2Td.αvap = c.(2αvap -a.b)
<=> Td²/c +ab = 2αvap (1 + Td/c)
αvap = ab/2 * (1+Td²/abc)/(1 + Td/c)

On a déjà dit qu'on avait deux jeux de coefficients pour Pvsat.

Vérifions un peu si notre biniou calculatoire est bien accordé, en mettant dans le même graphique la courbe y = Pvsat(x=T) et, en jouant sur les axes, les 2 courbes x = Td(y=Pvap).

Comparaison Pvs et Td(eau liquide)

Comparaison Pvs et Td(eau liquide)

La courbe (Tdliquide,Pvap) recouvre parfaitement la courbe (T, Pvsat) pour T>0.
Mouais, pas très lisible dans les températures négatives, on va faire un zoom.

Comparaison Pvsat(T) et Td(glace)

Comparaison Pvsat(T) et Td(glace)

Aaaaah, c'est mieux! La courbe (Tdglace, Pvap) recouvre parfaitement la courbe (T, Pvsat) pour T<0

Et voilà. Fastoche !
smiley j'dis ça j'dis rien (dit l’auteur aux yeux cernés, en poussant sous le tapis une paire d’infâmes brouillons exploratoires. Par exemple, passer à %HR et T au lieu de Pvap, plouf, dans l'eau. Si vous trouvez une expression franchement élégante, je suis preneur ! Mais, pitié, pas le Td=c.γ/(a-γ) de http://www.wikipedia.en . C’est sexy, mais c’est en fait une approximation à la hache d’abordage en sabordant le terme de degré 2 dans l’équation du 2nd degré.)

Reste à gérer la transition eau liquide-glace. A 0°C, nous avons :

Pvsatliquide(0°C) = p0liquide = 611,21Pa
Pvsatglace(0°C) = p0glace = 611,15 Pa

Du coup, si la pression de vapeur est entre les 2, que prend-on comme température du point de rosée ? Mmm? Ou, plus généralement, comment passe-t-on de Tdglace à Tdliquide ?
Ah-ah ! Bonne question !

Passage de la glace à l'eau pour Pvsat vs. Td(glace) et Td(eau liquide)

Passage de la glace à l'eau pour Pvsat vs. Td(glace) et Td(eau liquide)

Tout d’abord, notons que les courbes Tdglace et Tdliquide sont raccord au point triple 0,1°C.
Cela dit, d’un côté, dans le domaine de l’isolation des bâtiments, l’eau capillaire est liquide et tend à repousser la température de congélation. Évidemment, les matériaux de construction ne sont pas tous capillaires, ça serait trop simple...
De l’autre, dans le domaine météo, le phénomène de givrage prime légèrement sur la condensation (d’où les jolies gelées blanches plutôt qu’une rosée avec formation de gouttelettes congelées).

L’un dans l’autre, on opte pour un compromis (ou un bricolage, si vous préférez) avec :

  • en principal, Td=Tdliquide entre ~0°C et le point triple. C’est cohérent avec le choix Pvsat=Pvsatliquide dans la même zone.
  • de façon secondaire, au niveau de la discontinuité à ~0°C, Td=Tdglace pour le petit intervalle Pvap=[p0glace, p0liquide[
Comparaison entre Pvsat(T) et la formulation finale de Td(Pvap)

Comparaison entre Pvsat(T) et la formulation finale de Td(Pvap)

Histoire d’éviter les erreurs, voici la formule complète pour scilab :

function D_C=PointDeRosee(Pvap)
  // Température du point de rosée (en Celsius) selon la pression partielle de
  // vapeur d'eau (en Pa). Qu'on soit sur glace ou eau, Pvs selon Buck96 est de
  // la forme p0 * exp( (a-T/b) * T / (c + T) )
  // avec alpha = b/2*( a - ln(Pvap/p0) )
  // on aura Td  = alpha - sqrt(alpha^2 + c*(2*alpha - a*b))
  // source : http://mayar.over-blog.com
  D_C = zeros(Pvap);
  i = find(Pvap < 611.21);
  if ~isempty(i) then
    alphag = 333.7/2*(23.036 - log(Pvap(i)/611.15));
    D_C(i) = alphag - sqrt(alphag.^2 + 279.82*(2*alphag - 23.036*333.7));
  end
  j = find(Pvap >= 611.21);
  if ~isempty(j) then
    alphal = 234.5/2*(18.678 - log(Pvap(j)/611.21));
    D_C(j) = alphal - sqrt(alphal.^2 + 257.14*(2*alphal - 18.678*234.5));
  end
endfunction

Et en version LibreOfficeCalc en Français, sous forme compacte, avec Pvap dans la cellule B2 :

=SI(B2<611,21;4913,96 - 166,85*(LN(B2) + RACINE(LN(B2)*(LN(B2) - 62,2568) + 888,9));2942,21-117,25*(LN(B2) + RACINE(LN(B2)*(LN(B2)-54,573) + 657,82)))

Dans cette dernière formulation avec constantes explicites, la perte de précision est inférieure à 0,003°C entre -90 et 260°C, et totalement noyée (<15ppm) dans la précision relative de Buck96 (0,2 %, cf article pvsat).

Limite entre point de rosée sur glace (sous la coubre) et sur eau (au-dessus) selon les conditions extérieures.

Limite entre point de rosée sur glace (sous la coubre) et sur eau (au-dessus) selon les conditions extérieures.

4. Gradient du point de rosée

4.1 Ce que l'on dit (sur le gradient)

Attention, on ne s’intéresse pas ici à la question du gradient thermique de l’air humide saturé (quand on est dans le brouillard, ou au-dessus des nuages). Ce que l’on recherche, c’est le gradient sous les nuages. C’est à dire la variation du point de rosée selon l’altitude avant que l’atmosphère ne soit saturée d’humidité, là où les nuages se développent. On peut aborder le sujet de plusieurs façons.

Commençons par la littérature de base et autres discussions internet...
Ooookay, tout le monde cause de gradient sensiblement constant γd = d(Td)/dz ~ -1.8°C/km. Ah, tiens, des fois c’est -1,78. Voire -1,75. Ou encore 2 2,3... 2,4 à ma gauche! Qui dit mieux ?

"Et ça, j'achète!" (Juge Québeccois de la version française de "Danse avec les stars")

Bon, pas de panique, on nous propose ici un calcul rigoureux.
Mouais mouais mouais… Lu en diagonale, ça paraît capillotracté, quand même. Mmmh, et en y regardant avec 2 yeux ?...
*Ahem* Au hasard, ça fait appel à la masse volumique de l’air sec, qui n’est pas si constante que ça selon la température... Euh, otez-moi d'un doute, le coeur du sujet, c’était bien l’air humide, n’est-ce pas ? Chapeau, lapin, et...hop ! Prestidigitation :-)

Garcimore sortant un lapin d'un tuba
Ca marche aussi avec un tuba, il suffit de rester "décontlashté"
  • Est-ce que γd est bel et bien une constante ?
  • Si oui, quelle est sa « vraie » valeur ? Sinon, quelle est sa formule ?
  • Comment l’utilise-t-on ? Parce que si c’est pour se coltiner un truc plus lourd que le calcul direct de Td(z), ça n’a plus aucun intérêt !

Flyben[4], sors nous un coup de bizarre, va y en avoir besoin! Smiley "santé!" 

Variante "Goret explorer" du solveur "ingénieur+café" (concept : Kristell de https://www.facebook.com/karameletchokola )

Variante "Goret explorer" du solveur "ingénieur+café" (concept : Kristell de https://www.facebook.com/karameletchokola )

4.2 Ce que l'on peut voir (sur le point de rosée)

Si γd est bel et bien une constante -ou presque- alors autant s’éviter des calculs fastidieux, non? Ca doit pouvoir se voir rapido-presto en traçant tout simplement la courbe Td(z), c'est à dire Td(Pvap(z)).

Autrement dit, on a besoin de connaitre la pression partielle de vapeur d'eau selon l'altitude Pvap(z). Pour ça, on va utiliser une hypothèse majeure, pour pas dire musclée  :

xvap(z) = Pvap/Patm = cste

En clair, on va supposer que la proportion de vapeur dans le mélange qu'est l'air humide ne varie pas. En gros, on suppose ici qu'on a la tête sur les épaules et non dans les nuages, et que nous ne sommes pas juste à côté d’un hammam style aérogénérateur d’une centrale nucléaire (ou, à l'inverse, le four solaire de Font-Romeu!).
Attention, ça reste une  hypothèse "climatique" locale d'atmosphère stable. Quand un grain nous arrive sur la tronche, ça sort du cadre. Idem entre les 2 extrémités du tunnel du Mont-Blanc.

Inférons un cran de plus : si on connait l'humidité relative d'un point de référence, et Patm(z), alors c’est gagné !

Le bon, la brute et le truand (1966)
Le bon, la brute et le truand (1966)

"Y'a deux catégories de gens dans la vie. Ceux qui ont les deux...et les autres, Amigo!..."

Regard bleu acier impénétrable, comme perdu au loin vers les montagnes[5], Blondin garde le silence...
En un éclair, il dégaine son colt et presse la détente -adiabatique.
Smiley cowboy P'tiou!...

P/Pref = (T/Tref)β

Gaffe, la température dans cette formule est  en Kelvin!
On a  typiquement β = 7/2 pour un gaz parfait diatomique.
Dans les conditions normales de température et pression, Tref=15°C et Pref=101325Pa.
Tout ça donne :
Patm(z) = 101325 * ((273.15+T(z))/288.15)7/2

Maintenant, il suffit de connaitre T(z) et ça sera -enfin- gagné!

Le colt de Blondin n'a pas qu'un balle. En atmosphère adiabatique sèche, la température varie selon le gradient γsec = -g/Cp = -9.81/1004 =  -9,75°C/km
T(z) = 288.15 + γsec.z

C'est gagné!

.....Rablam! Le truand vous a truandé, et vous n'avez rien vu venir, AH AH AH AH!

Ben oui, quoi. J'ai dit qu'on utilisait une hypothèse fortement locale, et on l'a emplafonnée à chaque phrase, en plus d'escamoter complètement l'histoire d'humidité relative au point de référence. Faire comme s'il faisait tout autant 15°C sur les plages de Tahiti que chez les pingouins, été comme hiver, ça ne vous a pas choqué???
Idem pour β et Cp. Ce ne sont pas des constantes "en dur" (sensibilité significative à l'humidité, et de 2e ordre à la température).
Quand à g, sa valeur n'est pas 9.81m/s² partout sur le globe.

Reprenons proprement, avec des valeurs "climatiques" locales (Sud-Grésivaudan) et des pseudo-constantes correctes :

  • g = 9.806m/s² au niveau de la mer à la latitude ~45° [6]
    Patm(z=0) = P0 = 101325Pa. Ça, ça ne change pas.
  • zref=272m
    Pour, par exemple, les conditions annuelles moyennes du site, on aura :
    T(z=zref) = 12,11°C (moyenne annuelle)
    Pvap(z=zref) = 1125 Pa.
    Cette pression de vapeur moyenne n'est pas tiré de la moyenne des humidités relatives durant l'année, qui n'a aucun sens physique. C'est une vrai moyenne pondérée des Pvap mensuels calculés à partir des températures et humidités relatives mensuelles.
  • De là, on peut déterminer le reste par approximations successives. Pour plus de détail, voir le dernier chapitre.
    • Cp = 1011 J/kg/K
    • β = 3.506
    • T0 = 14,75°C
    • Pref = 98106 Pa
  • On finit de tout ramener au niveau de la mer en calculant hr0
    hr0 = Pvap(z=0)/Pvsat(T0) = P0 / Pref . Pvref / Pvsat(T0)
    hr0 =  69.2%

Polom polom... Ca fait des petits changements pas si petits, n'est-ce pas?

Bonjour M.Phelps.
Votre mission, si toutefois vous l’acceptez, sera de trouver et identifier le point de rosée  Td(hr0, T0, z), puis d'en exfiltrer le gradient de rosée à 2 ou 3 chiffres significatifs.
Comme d'habitude, si vous ou l'un de vos agents étiez capturés ou tués, le Département d'État nierait avoir eu connaissance de vos agissements.
Bonne chance, Jim
!

Mission impossible (sérive TV). "cette bande s'autodétruira dans 5 secondes".
Cette bande s'autodétruira dans 5 secondes

Le temps de réunir ses acolytes préférés, puis c'est le traditionnel briefing.

Jim Phelps : Pour approcher le point de rosée, nous allons utiliser la méthode suivante :

T = T0 - g/Cp*z
Patm = 101325*((273,15+T(z)) / (273.15+T0))β
Pvap = Patm(z) * hr0 * Pvsat(T0) / 101325
Td(z) = Td(Pvap(z))

Bien. Des questions?

Cinnamon Carter : Pourquoi conserver hr0 et T0 au lieu de mettre leurs valeurs calculées précédemment?

Jim Phelps : Bien qu'on connaissent effectivement leur valeur moyenne annuelle, ces "codes" changent tous les jours. Nous devrons nous adapter sur place.

Barney Collier : La méthode "in situ" va consister à trouver les valeurs de g, Cp et β à partir de la localisation du site, ainsi que de l'humidité relative et températures ramenées au niveau de la mer. Puis on appliquera le jeu d'équations ci-dessus.

Bien, c'est parti...

Td(z,T,%HR) selon calcul exact, méthode usuelle et méthode "in situ"

Td(z,T,%HR) selon calcul exact, méthode usuelle et méthode "in situ"

Notez que les courbes de point de rosée ci-dessus sont issues du "calcul exact", en prenant en compte :

  • la variabilité de g selon la latitude, mais aussi l'altitude du sol et l'altitude tout court
  • la variabilité de Cp et β selon l'humidité et la température, et donc selon l'altitude

Du calcul itératif lourdingue... Mais l'équipe mission impossible a une confiance inébranlable en Wally Armitage et ses gros biscottos, toujours prompts à sauver la situation dans la discrétion la plus totale.

En comparaison, la méthode usuelle (g=9,81, etc...) marche de façon très convenable sous conditions standard. Ailleurs, ça part dans le décors (4°C d'erreur). C'est énorme..

Bon, on a obtenu un joli faisceau de droites à peu près parallèles. Reste que c'est au moins autant chaotique à décrypter que les situations où s'infiltrent l'équipe de Mission : Impossible...

C'était sans compter que les agents de M.Phelps sont de rusés renards.

  1. Et d'une, ils étaient totalement confiant dans l'excellente précision de la méthode "in situ". En fait, elle consiste à ne retenir que la sensibilité de Cp et β à la fraction de vapeur Pvap/Patm. Comme celle-ci est constante en détente adiabatique "sèche", cela revient à prendre les valeurs de Cp et β au niveau de la mer, et donc une sensibilité à uniquement Pvap(z=0).
  2. Et de deux, ils savent que, pour une température T0=T(z=0) donnée, fixer une valeur de l'humidité relative, c'est la même chose que fixer une valeur de pression de vapeur, ou bien fixer le point de rosée correspondant Tdsol=Td(z=0).

Du coup, Rollin Hand nous sort un déguisement de derrière les fagots (ou pas piqué des hannetons, si vous préférez).

Cp et β dépendent essentiellement de la fraction molaire xvap=Pvap/Patm. Leur sensibilité à la température est secondaire. Du coup, en régime adiabatique sec, cela revient à dire que Cp et  β sont en pratique des constantes de Tdsol.

Toutes les courbes qui naissent d'un même point de rosée Tdsol peuvent être regroupées. Pour lire cette courbe Td(z, Tdsol), il suffit alors de dilater l’échelle z d’un facteur T0/Tdsol (en Kelvin), sans plus se préoccuper de l’humidité relative.

Est-ce que ce leurre va faire mordre à l'hameçon? Le point de rosée va-t-il tomber dans le panneau?

Mission impossible connait bien son job. D'abord user d'une confrontation-test avec quelques sous-fifres.
Voici plusieurs courbes Td correspondant à diverses températures et humidités relatives ayant le même point de rosée Tdsol = PointDeRosée(15°C, 25%HR)

Td(z,T,%hr) pour T et %hr liés par un même Td au niveau du sol
Td(z,T,%hr) pour T et %hr liés par un même Td au niveau du sol

Td(z,T,%hr) pour T et %hr liés par un même Td au niveau du sol

Alors, oui, toutes les courbes exprimant humidité relative ≥ 100 % n’ont pas de sens physique. Ne vous frappez pas, ne vous bloquez pas, ces courbes sont juste un artifice de calcul mathémagique pour étudier/illustrer les formules sur le point de rosée et son gradient. En pratique, le tri est fait au moment où on cherche à utiliser pour de bon le point de rosée. Le prochain article sur l’atmosphère donnera une application pratique. Quoi, j’ai dit 2x pratique ? Et alors! :-p

Ci-dessus, on a plus précisemment Tdsol = -4.306°C. Dans le zoom sur Td(z=1000m), regardons la courbe cyan et la courbe Phelps. Pardon, verte.

  • Sur la courbe cyan en lecture directe, on atteint Td=-5,817°C à 1 127,605m.
    Désolé pour la précision inutile, c'est juste pour montrer qu'il n'y a pas d'effet de manche.
  • Pour notre courbe "Phelps" T0=Tdsol=-4,306°C, en lecture directe, on atteint le même point de rosée à 1000m d'altitude.
  • Appliquons le tour de passe-passe de l'Impossible Mission Force à la courbe "Phelps" :
    1000*(273.15+30)/(273.15-4.306) = 1127,605m

CQFD ça marche, nickel ! [7]

Y'a pas à dire, comme toujours, la mission de M.Phelps se déroule -au début- sans anicroche. Un véritable tour de impossible mission force.

4.3 Ce qui se dessine (pour le gradient)

4.3.1 Avec les mains...

diagramme local Td(z, Tdsol), chaque courbe a ses propres constantes Cp(Tdsol) et β(Tdsol)

diagramme local Td(z, Tdsol), chaque courbe a ses propres constantes Cp(Tdsol) et β(Tdsol)

Aaah, ce diagramme est nettement plus lisible que le premier! Certes, ça ne vaut pas pas un Renoir, c’est clair. Mais la pureté des lignes, la simplicité des couleurs, l’abstraction de la rectitude qui s’échappe vers une perspective fulgurante évoquant définitivement la fraîcheur moite d’un matin d’automne… Totalement Suprématiste. Ca vaut au moins le carré blanc sur fond blanc de Malevitch ! smiley diablotin

En langage profane :

On va regarder ça de plus près. (Je ne parle pas de l’art contemporain)
Tout d’abord, vérifions à quel point les « droites » sont des droites, en traçant la dérivée de Td selon l’altitude. C’est à dire le fameux gradient du point de rosée γd.

Gradient γd(z,Tdsol) dérivée du précédent diagramme

Gradient γd(z,Tdsol) dérivée du précédent diagramme

Triple « argh ! » :

  1. Nos "droites" pour Td ne sont pas de vraies droites : leur pente γd varie de 4 à 7,5% sur 2500m

  2. Le gradient γd varie de façon importante selon Tdsol : entre -1.38 et -1.96°C/km

  3. On se retrouve avec 2 "paquets" distincts, selon que Tdsol est dans les températures négatives ou non !

  4. Il y a quand même une bonne nouvelle. Toutes les courbes semblent parallèles, ce qui signifierait que le gradient de rosée est à variables séparées.
    γd(Tdsol, z) = f(Tdsol) + g(z)

4.3.2 Le gradient γd varie avec l’altitude

On va se la jouer saison 4 de IMF, c'est à dire « à l’américaine ». On commence par sélectionner "au pifomètre instruit" une courbe « moyenne » , puis on calcule la pente :

Pour la courbe Tdsol=5°C :  (-1.854e-3+1.756e-3)/2500 = -0,0392 °C/km/km

De là, on conclut en affirmant droit dans ses bottes que c’est la pente du gradient de rosée selon l’altitude, ouaip !

Ah... Ça tire une tronche de 6 pieds de long chez les pieds tendres grand ouest... Okay ol'pals, let's reformulate more politically correct.

La variabilité du gradient de rosée peut être approximée par :

γd = γdsol – 0,0392e-6*z

Ça vous va mieux dit comme ça?

4.3.3 La variation de γd avec l’altitude est quasi-indépendante de Tdsol

Barnier Collier va nous liquider ça avec un bricolage de génie en moins de 3 minutes. En « empilant » les courbes les unes sur les autres

L'erreur résultant de l'approximation γd=γdsol – k.z est inférieure à 0,7%

L'erreur résultant de l'approximation γd=γdsol – k.z est inférieure à 0,7%

Barnier est franchement un magicien! En une unique manip', il nous sort à la fois la précision du modèle et la sensibilité de γd - γdsol à Tdsol selon l'altitude.

Ouch! Avec un écart au pire de ~0,008°C/km (en mettant de côté la courbe "George of the Jungle" Td=35°C), l'équipe Mission : Impossible passe à 1 cheveu de se faire démasquer. Le 3e chiffre significatif risque d'être compromis...

Notez que, si tous les gradients étaient exactement des droites, le résultat serait « flatline ».

Flatliners : l'expérience interdite (1990)
Flatliners : l'expérience interdite (1990)

De plus, en mettant de côté l'erreur du modèle en z, si γd était effectivement à variables séparées, c'est à dire si on avait γd - γdsol = f(z), alors nous aurions dû obtenir une unique courbe -à peu de choses près.

Comme souvent dans les épisodes d'IMF, la fin du plan prévu est compromise. Les agents vont devoir changer leur fusil d'épaule et improviser afin de se sortir du guêpier. Typiquement en traçant in fine l'erreur entre modèle et valeur exacte de γd.

4.3.4 Le climax!

Soudain, M.Phelps jette son regard bleu acier typique le plus intense. Comme un « détail » oublié qui pourrait tout faire capoter…

Bon sang, mais c'est bien sûr! Le facteur d’échelle Tsol/Tdsol sur les abscisses z !

En effet, on avait dit que pour passer des diagrammes de point de rosée basés sur Tdsol à des valeurs utilisables dans la vraie vie (%hr0, T0), il fallait dilater l'échelle de T0/Tdsol. Est-ce qu'on a tout planté dans nos diagrammes de rosée?

Rollin Hand sourit. Un peu de manipulation psychologique improvisée, et tout restera sous contrôle, comme toujours.

Td(%hr0, T0, z) = Td(Tdsol, z*Tdsol/T0)
γd (%hr0, T0, z) = ∂Td(%hr, T0, z)/∂z = Tdsol/T0 . γd(Tdsol, z*Tdsol/T0)

Pour passer de la courbe "Hand" (sur Tdsol) à la courbe vraie (sur hr0 et T0), en plus de la dilatation d'échelle précédente, il suffit de multiplier les courbes γd(Tdsol,z) par Tdsol/T0 , et le tour est joué! En plus, comme ce facteur multiplicatif est forcément <1, on est assuré de ne pas perdre en précision. Ouf!

Attention, ce facteur multiplicatif utilise des températures en Kelvin, pas en Celsius!

Pour les plus sceptiques, voici les courbes qui permettent de vérifier la validité de la manip'.

Pour passer de γd(Tdsol, z) à γd(%hr0, T0, z), il faut multiplier γd par Tdsol/T0 et dilater l'altitude par T0/Tdsol le même facteur. Ici les courbes exprimant le chemin inverse.
Pour passer de γd(Tdsol, z) à γd(%hr0, T0, z), il faut multiplier γd par Tdsol/T0 et dilater l'altitude par T0/Tdsol le même facteur. Ici les courbes exprimant le chemin inverse.

Pour passer de γd(Tdsol, z) à γd(%hr0, T0, z), il faut multiplier γd par Tdsol/T0 et dilater l'altitude par T0/Tdsol le même facteur. Ici les courbes exprimant le chemin inverse.

Ouf, la mission peut continuer!

4.3.5 Le gradient dépend beaucoup de Tdsol

On aborde une phase critique : le moment où l'équipe de Jim Phelps retourne psychologiquement sa cible comme une chaussette...

Auparavant, on a tracé des courbes du gradient selon l'altitude, pour quelques valeurs de Tdsol. Pour étudier γdsol, on inverse la vapeur en traçant γd selon Tdsol au sol pour quelques altitudes. smiley pertubé

 

γd(Tdsol,z) selon Tdsol, corrigé de l'altitude
γd(Tdsol,z) selon Tdsol, corrigé de l'altitude

γd(Tdsol,z) selon Tdsol, corrigé de l'altitude

A-ah! C'est lisse comme une robe de soie de Cinnamon Carter, si ce n'est un gros plis du côté de Tdsol=0°C. Le mini-flingue de la femme fatale? Ou un microphone-espion de Barney?

A ce détail près, c'est visiblement linéraire. Faisons dans la foulée les 2 régressions :

  • Td<0 : γdsol(Tdsol) =  -1.5160927e-3 – 5.521091e-6*Tdsol
  • Td>0 : γdsol(Tdsol) =  -1.7217721e-3 – 7.0363531e-6*Tdsol

Brèfle, voici globalement notre modèle du gradient de rosée :

γd(Tdsol,z)  = γdsol - c.z = (-a -b.Tdsol) -c.z

On peut intègrer cette formule pour retomber sur le point de rosée :

Td = (-a -b.Tdsol).z -c/2.z² + Tdsol

So what??? Atta, atta.. La marche d'escalier de γdsol(Tdsol) correspond au passage eau liquide vers glace. C'est à dire quand Td=0. La formule ci-dessus nous donne un accès rapide à l'altitude zg et point de rosée au sol Tdsolg correspondants, pour laquelle il faut bien sûr retenir les coefficients de γdsol sur eau liquide.

Altitude et point de rosée au niveau de la mer correspondant à la limite de givrage

Altitude et point de rosée au niveau de la mer correspondant à la limite de givrage

Dans le zoom ci-dessus, on a tracé la quasi-droite zg(Tdsol). Cela nous permet de partir d'une altitude zg, remonter au Tdsolg. Puis on compare à l'emplacement de la marche d'escalier du gradient correspondant, et... Et ça marche nickel smiley prosterné

4.3.6 Lutte finale dans la neige

Nous somme dans l'ultime phase de notre épisode de Mission : Impossible. Celle où tout se précipite de façon chaotique avant l'exfiltration finale des agents.

Le décrochage qu’on vient de voir, c’est le passage d’un point de rosée calculée sur la glace (givrage) à un point de rosée calculé sur l’eau (condensation).

Du coup, quelles valeurs faut-il prendre pour le gradient de rosée?

  • Gradient de rosée sur glace ?
    Pertinent en hiver dans la petite Sibérie, ou en altitude. Le hic, c’est qu’on va se retrouver salement décalé tout le reste du temps...

  • Gradient de rosée sur eau ?
    L’altitude moyenne de la France est de 342m. Si on élague les reliefs inhabitables ou largement inhabités, c’est encore moins. Disons 230m, pile-poil mon chez-moi
    (quoi, j’ai le pifomètre un peu chauvin, et alors?...smiley Chuis un dieu )

    A cette altitude, en pratique, on est presque toujours sur eau. Revers de la médaille, au coeur de l'hiver, on écope d'un décalage sur le gradient de rosée de 0.2°C/km à 0.4°C/km...

  • La moyenne des deux ?...
    C’est tentant, n’est-ce pas… Du coup, on est pas trop biaisé. En contrepartie, le biais, c’est tout le temps, ce qui est assez discutable, et somme toute assez franchement nul après toute la gesticulation neuronale qu’on vient de se taper!

  • ... Ou les deux mon capitaine ?
    Effectivement, on peut imaginer prendre le gradient sur eau à partir du sol, monter jusqu’au seuil de givrage Td=0, puis passer au gradient sur glace. Ca complexifie nettement le biniou, quand même…

Faute d’argument qui tient tout seul sur ses deux jambes, on va prendre une béquille (aïe-kido). Ca évitera de trébucher et se casser un orteil (j'dis ça, j'dis rien...)

La formule de Hennig, parait-il encore enseignée par la FAA, suppose un gradient de rosée sensiblement constant de -1.8°C/km. Comparons à notre premier graphe du gradient. Mmmh... Il est clair que Hennig et consorts sont dans le domaine de γdl (gradient de rosée sur eau liquide).

Calvin & hobbes, Bill Waterson, bonshommes de neige en train de fondre avec des panneaux annonciateurs de "l'apocalypse"
Fini les boules de neige, tout a fondu!

4.4 Ce que l'on peut conclure (sur le gradient)

    Voici la formule du Pr Sato du gradient du point de rosée :

    γd(z,Tz=0, Tdz=0) = -(a + b.Tdz=0)*(273.15+Tz=0)/(273.15+Tdz=0) - c.z

    • c = 0.0392e-6 °C/m²
    • coefficients sur eau liquide
      • a = 1,722e-3 °C/m
      • b = 7,036e-6 m-1
    • coefficients sur glace
      • a = 1,516e-3 °C/m
      • b = 5.521e-6 m-1

    Attention, ces coefficients sont valables pour la latitude 45°. Pour une autre latitude, faites chauffer vos machines (ou patientez jusqu'au dernier chapitre de cet article?)

    En sélectionnant tout simplement le jeu de coefficients sur la base du point de rosée au sol (strictement positif ou négatif), voici ce que ça donne.

    Variabilité du gradient de rosée, écart entre modèle et calcul exact de γd

    Variabilité du gradient de rosée, écart entre modèle et calcul exact de γd

    Bon, ben, j'crois qu'c'est clair :

    • Prendre une valeur constante pour le gradient du point de rosée, c'est très approximatif et très très arbitraire!
    • Omettre totalement la problématique du passage eau-glace, comme dans Henning et consorts, c'est introduire une erreur sur le gradient de al-ag=~0.2°C/km...
    • Pour une faible variation d'altitude, on peut la sensibilité de γd à z
    • En pratique, la précision de notre modèle linéaire est meilleure que 0.025°C/km!
      Pari réussi : on est à presque 3 chiffres significatifs.

    Y'a pas à dire, l'équipe de M.Phelps est redoutable.smiley king3

    Rembobinons un peu notre histoire. Au fait, à quoi ce modèle peut-il bien servir?
    Après tout, on a démontré qu'on pouvait dériver le point de rosée et son gradient sans autre concession que la sélection in situ des valeurs de Cp et β. Donc pourquoi aller se faire suer avec cette formule du gradient?

    Et bien, comme on dit, chacun voit midi à sa porte...

    • A titre éducatif ou pour du calcul formel, le modèle simplifié permet d'appréhender immédiatement à quoi le gradient de rosée est sensible, et comment.
    • Pour les pilotes et autres vélivolistes pas-du-dimanche, c'est à dire qui volent été comme hiver, je suppose qu'ils ne cracheront pas sur une amélioration d'un bon ordre de grandeur.
    • Pour météo-amateurs qui se crêpent régulièrement le chignon sur "la vraie valeur" du gradient de rosée, j'imagine que ça peut aider à recadrer la discussion vers des problématiques plus concrètes.
    • Nous, on est plutôt bilan hygrothermique et autres calculs de coin-coin de table relatifs au bâtiment.
      Et là, c'est très appréciable d'avoir un modèle simplissime à coder dans un tableur ou injecter dans un calcul. En pratique, cela nous servira pour apprécier la transposition des données climatiques depuis une station météo vers le site d'intérêt.

    Le gros avantage de cette formule de gradient de rosée, c'est sa simplicité. En particulier, il évite de devoir rechercher Cp, β en fonction des conditions in situ.

    Dans tous les cas, il sera du ressort de chacun d'apprécier comment gérer le passage eau-glace, selon le contexte. Et retoucher au besoin les paramètres a,b,c selon la latitude.

    5 Annexe : détermination de la base des nuages

    A paraître prochainement...

     

    6 Et pour approfondir...

    • Pour obtenir les courbes ci-dessous, on utilise Cp(xvap,T) = Cp(Pvapz=0/Patmz=0,T) ~ Cp(Pvapz=0/Patmz=0,15°C). Et du pareil au même pour β.
      Pour les formules permettant d'accéder à Cp(xvap,T) et β(xvap,T), désolé, il faudra patienter jusqu'à publication de l'article sur les propriétés thermophysiques de l'air humide :-p
       
    Cp et β en fonction de Tdsol (à 15°C et 101325Pa). On retrouve au passage qu'ils sont -presque- égaux à la constante spécifique de l'air près..

    Cp et β en fonction de Tdsol (à 15°C et 101325Pa). On retrouve au passage qu'ils sont -presque- égaux à la constante spécifique de l'air près..

    • Méthode de transposition des températures et humidité relative locales au niveau de la mer, et déduction de la pression atmosphérique.
      A paraître prochainement...

     

    • Approche formelle du gradient de rosée
      A paraître prochainement...

    [1] Pour alimenter la feuille de calcul bilan hygrothermique,  ainsi que mes pas-si-menus calculs de puits canadien (à paraître).

    [2] Coin au pluriel, car, j’avoue, un seul p’tit coin n’y suffisait plus...

    [3] Qui a dit « sauf en Bretagne » ? Avant de faire son malin, vérifiez la liste des zones humides de France Smiley clin d'oeil

    [4] J'avais rédigé cette phrase "spécial dédicace" début août 2017. Un mois plus tard, Flyben nous quittait lâchement, sa moto fauchée par une automobiliste sortant d'une route latérale et qui ne l'avait pas vu. A ta santé, Benjamin...

    [5] Où comment donner une magistrale leçon sur "Enza no metsuke" aux pratiquants d'arts martiaux, quand on s'appelle Sergio Leone <clap clap> <lien enza no metsuke>

    [6] Pour la "constante" de pesanteur terrestre, attention, les articles wikipédia tant français qu'anglais cafouillent un peu (à partir du 3e chiffre significatif). Pour des formules officielles, le mieux est d'aller piocher directement chez le Bureau Gravimétrique International, en particulier ce document. A noter : dans notre contexte, l'influence de l'altitude est pouillesmesque

    [7] Pour les plus sceptiques, voici la démonstration formelle de la dilatation de l'échelle des altitudes, basée sur le fait que g, Cp et β (et donc γsec) sont localement assimilables à des constantes pour le point de rosée.

    Considérons :

    • Td1(z1)=Td(HR1z1=0, T1z1=0, z1)
    • Td2(z) = Td(HR2z=0=100 %z=0, T2z=0, z)
    • et Td1(0)=Td2(0) <=> Pvap1(0) = Pvap2(0)
      On remarque au passage que T2z=0 = Td2sol = Td1sol
    • pour mémoire, la pression atmosphérique au niveau de la mer est considérée indépendante du climat : Patm1z1=0 = Patm2z=0 = 101325 Pa

    Pour avoir Td1(z1) = Td2(z), il faut nécessairement Pvap1(z1) = Pvap2(z)
    <=> Pvap1z1=0/Patm1z1=0 * Patm1(z1) = Pvap2z=0/Patm2z=0 * Patm2(z)
    <=> Patm1(z1) = Patm2(z)
    <=> (T1(z1)/T1z1=0)β = (T2(z)/T2z=0)β
    <=> T1(z1)/T1z1=0 = T2(z)/T2z=0
    <=> 1 + γsec*z1/T1z1=0 = 1 + γsec*z/T2z1=0
    <=> z1 = z * T1z1=0/T2z=0
    <=> z1 = z * T1z=0/Td1sol

     

    [8] Evidemment, ce n’est pas un scoop. Les lignes « adiabatique sèche » d’un émagramme expriment la même chose : pas tout à fait des droites, ni tout à fait parallèles. Si vous voulez en savoir plus sur les émagrammes, et aussi sur les diverses instabiiltés météo, cf. cette doc. C'est cadeau!

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