A propos du point de rosée
(2/11/17 : ajout du dernier chapitre, et quelques corrections au fil de l'eau)

Mignone, allons voir si la rose
Qui ce matin avait déclose
Sa robe de pourpre au soleil,
A point perdu cette vesprée,
Les plis de sa robe pourprée,
Et son teint au vôtre pareil.
Odes, I,17 (extrait), de Ronsard-l’abstinent, assumant à 26 ans et devant l’éternel son flagrant délit de flagornerie d’une jeune fille de 6 ans sa cadette.
Ce que Ronsard-le-clerc-tonsuré-et-à-moitié-sourd ne dit pas, c’est qu’à force de tirer un fil de la belle, il vient une pelote, au risque d'écoper d'une calotte !
Ci-fait, notre p'tit bout de fil innocemment tiré à propos de pression de vapeur saturante s'est transformé par curiosité et nécessité[1] en une sacrée pelotte! De fil en aiguille, il y a largement matière à tisser un dossier complet...
- Pression de vapeur saturante
- Point de rosée
- Enjeux
- Définition et formulation
- Gradient de rosée : présentation et conclusion sur sa formulation
- Altitude de la base des nuages
- Modèle(s) d’atmosphère
- Exemple de dérivation du climat in situ depuis une station météo
- Propriétés thermodynamiques de l’air et de l'eau
1. Enjeux
On nous bassine régulièrement avec le point de rosée. Mais, honnêtement, ça sert pas à grand-chose mis à part que « ça parle plus avec les mains » que l’humidité relative en fonction de la température.
Aïe, ok, ok, j’exagère un peu ! (C'est qu'elle a des épines pointues, c'te rose!)
Je voulais dire que, quand on cause performance énergétique du bâtiment, le point de rosée n’apporte fondamentalement rien de plus que les courbes de pression de vapeur Pvap et Pvsat(T). Ou la courbe d’humidité relative %HR = Pvap/Pvsat(T)
En météorologie, c’est une autre histoire. Ça sert par exemple à déterminer vers quelle altitude les nuages commencent à se former. Et ça, rien qu’avec la température et le point de rosée au niveau du sol. Balaise, n’est-ce pas ?
Bon, il y a quand même un impact indirect sur nos calculs de coins[2] de table relatifs au bâtiment. En effet, ça joue sur la façon de transposer in situ les données climatiques/météo depuis une station météo de référence. Du moins, dès lors qu’on ne se contente pas d’appliquer aveuglément le modèle d’atmosphère standard ISA.
Oups, je vous ai perdu? Ne vous frappez pas, on y reviendra posément dans un article dédié.

Concrètement, nous allons avoir besoin du point de rosée et de sa variation approximative avec l’altitude (son gradient, quoi). Et d’un coincoin de table
Avant de faire canard dans ce sujet, faisons un p’tit pas en arrière. Ou deux. Ca fera un plus joli plongeon
Tout ceci n’est-il pas déjà couvert en long, en large et en travers dans la littérature « de base » et wikipédia ?
Hé hé, excellente question !
Mmmh… Comment dire… Ce n’est pas en répétant à l’envi une chose (un peu) fausse que ça la rend plus juste. Dès qu’on gratte le vernis, on découvre que la littérature "tout venant" cumule des approximations surprenantes et des hypothèses...ahem...discutables.
La notion de point de rosée est intimement liée à la pression de vapeur saturante, ok.
Or, dans notre article sur Pvsat, on a montré que Clapeyron, Rankine, et Antoine sont entichés d’erreur importante, et divergent carrément dans les températures négatives ! C’est peut-être très bien pour faire simple, « en gros pas trop près », ou pour l’aspect historique. Mais si c’est pour bosser dans la vraie vie avec 2-3 chiffres significatifs, gaffe à la peau de banane! IllustrationBernouilli oblige, la masse volumique de l’air intervient indirectement dans le gradient du point de rosée. On se dit illico qu'assimiler l’air humide à de l’air sec pour la masse volumique, ça se discute (5 % d’erreur à 30°C). Ensuite, quand on parle de gradient thermique, faire comme si la masse volumique de l’air sec était constante alors qu’elle varie significativement selon la température, ça devient de la licence poétique rock’n’roll !
Au niveau du sol, le plus souvent, l’air n’est pas saturé d’humidité[3]. Dans ces conditions, user et surtout abuser de formules basées sur de l'air humide saturé, euh... c'est l'école du Cirque?...

Après, il ne faut pas trop s’étonner d'écarts bizarroïdes et autres recettes de cuisine qui fleurissent sur internet et ailleurs, jusque dans des supports de formation (gloups!). Or, à moins d’un calcul d’erreur (jamais fourni...), on ne sait plus trop où on met les pieds parmi toutes ces formules à prendre avec des pincettes (clac! OUAÏLLE!).
Or donc, quitte à squatter un coin (coin!) de table, c'est mieux de s'assurer que ladite table est propre et ne déborde pas de bazar inutile en équilibre instable.
2. Définition du point de rosée
C’est quoi donc?
Pour le blabla à rallonge, voyez wikipédia. Version courte en notant le point de rosée Td (d comme dew point en anglique):
Pvsat(Td) = Pvap
où Pvap = %HR . Pvsat(T)
Voilà.
Fin de l’article.
.
.
.
Hey, revenez, je blaguais !
3. Formulation du point de rosée
Comme déjà dit, moult formules sont obsolètes, voire obsolètes et bidouillées, jusque dans des supports de cours -admirables par ailleurs. Sincère condoléances.
(Non, je n’ai pas d’actions chez Kleenex…)
Cela dit, le but de cette causerie n’est nullement de se borner à vilipender ou s’éplorer. Allez, hop, au boulot !
Concrètement, on cherche une formulation du point de rosée cohérente avec celle qu’on a préalablement retenue pour la pression de vapeur saturante. Pour mémoire, Pvsat selon Buck96 est de la forme :
Pvsat(T) = p0.e(a-T/b) . T / (c + T)
Avec un jeu de constantes (a, b, c) pour la pression de vapeur saturante en équilibre avec la glace (en gros T<0°C), et un autre jeu de 3 constantes pour Pvsat sur eau liquide (en gros T>0°C). Et alors, c’est quoi le point de rosée correspondant ? Facile, y’a qu'à demander.

Moi : What about the dew point ? Do you copy, Buck ?
Buck : Roger ! Here it is, you have clearance to use it.
Moi : Overkind ! Thank you Mister Arden Buck. Bidi-bidi-over.

(Désolé, j'ai pas pu m'en empêcher )
Point de magie dans Buck96 ni aucune approximation bizarroïde, comme on va le voir en redémontrant son résultat. Pour ça, il suffit d'écrire la définition de Td, puis y injecter la formule de Pvsat selon Buck96.
Pvap = Pvsat(Td) = p0.e(a-Td/b) . Td / (c + Td)
<=> ln(Pvap/p0) = (a-Td/b) . Td / (c + Td)
<=> (c + Td).ln(Pvap/p0) = a.Td-Td²/b
<=> Td²/b + (ln(Pvap/p0)-a)*Td+ c.ln(Pvap/p0) = 0
<=> Td² + 2*b/2*(ln(Pvap/p0)-a)*Td+ 2*c.b/2*(a+ln(Pvap/p0)-a) = 0
<=> Td² - 2.αvap.Td+ 2*c.( a.b/2 - αvap) = 0
en posant αvap = b/2*(a-ln(Pvap/p0))
Ouh là là, une équation du 2e degré, rendez-vous compte, mais c’est inhumain, ça !
On pose Δ’ = αvap² + c.(2*αvap - a.b)
Et il vient Td = αvap-√Δ’
Voici l’expression complète, version « Salade de fruit, jolie jolie, jolie »
Alors, oui, j’en convient tout à fait, cette salade n’est pas tant gourmande. Notez qu’elle est tout de même un tantinet plus digeste que la formulation assez rugueuse d’Arden Buck !
Au cas où on en ait besoin – et on en aura besoin, on peut calculer la réciproque de Td(αvap) :
=> (Td - αvap )² = α²vap + c.(2αvap -a.b)
<=> Td² -2Td.αvap = c.(2αvap -a.b)
<=> Td²/c +ab = 2αvap (1 + Td/c)
αvap = ab/2 * (1+Td²/abc)/(1 + Td/c)
On a déjà dit qu'on avait deux jeux de coefficients pour Pvsat.
Vérifions un peu si notre biniou calculatoire est bien accordé, en mettant dans le même graphique la courbe y = Pvsat(x=T) et, en jouant sur les axes, les 2 courbes x = Td(y=Pvap).
La courbe (Tdliquide,Pvap) recouvre parfaitement la courbe (T, Pvsat) pour T>0.
Mouais, pas très lisible dans les températures négatives, on va faire un zoom.
Aaaaah, c'est mieux! La courbe (Tdglace, Pvap) recouvre parfaitement la courbe (T, Pvsat) pour T<0
Et voilà. Fastoche ! (dit l’auteur aux yeux cernés, en poussant sous le tapis une paire d’infâmes brouillons exploratoires. Par exemple, passer à %HR et T au lieu de Pvap, plouf, dans l'eau. Si vous trouvez une expression franchement élégante, je suis preneur ! Mais, pitié, pas le Td=c.γ/(a-γ) de http://www.wikipedia.en . C’est sexy, mais c’est en fait une approximation à la hache d’abordage en sabordant le terme de degré 2 dans l’équation du 2nd degré.)
Reste à gérer la transition eau liquide-glace. A 0°C, nous avons :
Pvsatliquide(0°C) = p0liquide = 611,21Pa
Pvsatglace(0°C) = p0glace = 611,15 Pa
Du coup, si la pression de vapeur est entre les 2, que prend-on comme température du point de rosée ? Mmm? Ou, plus généralement, comment passe-t-on de Tdglace à Tdliquide ?
Ah-ah ! Bonne question !
Tout d’abord, notons que les courbes Tdglace et Tdliquide sont raccord au point triple 0,1°C.
Cela dit, d’un côté, dans le domaine de l’isolation des bâtiments, l’eau capillaire est liquide et tend à repousser la température de congélation. Évidemment, les matériaux de construction ne sont pas tous capillaires, ça serait trop simple...
De l’autre, dans le domaine météo, le phénomène de givrage prime légèrement sur la condensation (d’où les jolies gelées blanches plutôt qu’une rosée avec formation de gouttelettes congelées).
L’un dans l’autre, on opte pour un compromis (ou un bricolage, si vous préférez) avec :
- en principal, Td=Tdliquide entre ~0°C et le point triple. C’est cohérent avec le choix Pvsat=Pvsatliquide dans la même zone.
- de façon secondaire, au niveau de la discontinuité à ~0°C, Td=Tdglace pour le petit intervalle Pvap=[p0glace, p0liquide[
Histoire d’éviter les erreurs, voici la formule complète pour scilab :
function D_C=PointDeRosee(Pvap) |
Et en version LibreOfficeCalc en Français, sous forme compacte, avec Pvap dans la cellule B2 :
=SI(B2<611,21;4913,96 - 166,85*(LN(B2) + RACINE(LN(B2)*(LN(B2) - 62,2568) + 888,9));2942,21-117,25*(LN(B2) + RACINE(LN(B2)*(LN(B2)-54,573) + 657,82)))
Dans cette dernière formulation avec constantes explicites, la perte de précision est inférieure à 0,003°C entre -90 et 260°C, et totalement noyée (<15ppm) dans la précision relative de Buck96 (0,2 %, cf article pvsat).
Limite entre point de rosée sur glace (sous la coubre) et sur eau (au-dessus) selon les conditions extérieures.
4. Gradient du point de rosée
Attention, on ne s’intéresse pas ici à la question du gradient thermique de l’air humide saturé (quand on est dans le brouillard, ou au-dessus des nuages). Ce que l’on recherche, c’est le gradient sous les nuages. C’est à dire la variation du point de rosée selon l’altitude avant que l’atmosphère ne soit saturée d’humidité, là où les nuages se développent. On peut aborder le sujet de plusieurs façons.
Commençons par la littérature de base et autres discussions internet...
Ooookay, tout le monde cause de gradient sensiblement constant γd = d(Td)/dz ~ -1.8°C/km. Ah, tiens, des fois c’est -1,78. Voire -1,75. Ou encore 2 2,3... 2,4 à ma gauche! Qui dit mieux ?
Bon, pas de panique, on nous propose ici un calcul rigoureux.
Mouais mouais mouais… Lu en diagonale, ça paraît capillotracté, quand même. Mmmh, et en y regardant avec 2 yeux ?...
*Ahem* Au hasard, ça fait appel à la masse volumique de l’air sec, qui n’est pas si constante que ça selon la température... Euh, otez-moi d'un doute, le coeur du sujet, c’était bien l’air humide, n’est-ce pas ? Chapeau, lapin, et...hop ! Prestidigitation :-)

- Est-ce que γd est bel et bien une constante ?
- Si oui, quelle est sa « vraie » valeur ? Sinon, quelle est sa formule ?
- Comment l’utilise-t-on ? Parce que si c’est pour se coltiner un truc plus lourd que le calcul direct de Td(z), ça n’a plus aucun intérêt !
Flyben[4], sors nous un coup de bizarre, va y en avoir besoin!
Variante "Goret explorer" du solveur "ingénieur+café" (concept : Kristell de https://www.facebook.com/karameletchokola )
Si γd est bel et bien une constante -ou presque- alors autant s’éviter des calculs fastidieux, non? Ca doit pouvoir se voir rapido-presto en traçant tout simplement la courbe Td(z), c'est à dire Td(Pvap(z)).
Autrement dit, on a besoin de connaitre la pression partielle de vapeur d'eau selon l'altitude Pvap(z). Pour ça, on va utiliser une hypothèse majeure, pour pas dire musclée :
xvap(z) = Pvap/Patm = cste
En clair, on va supposer que la proportion de vapeur dans le mélange qu'est l'air humide ne varie pas. En gros, on suppose ici qu'on a la tête sur les épaules et non dans les nuages, et que nous ne sommes pas juste à côté d’un hammam style aérogénérateur d’une centrale nucléaire (ou, à l'inverse, le four solaire de Font-Romeu!).
Attention, ça reste une hypothèse "climatique" locale d'atmosphère stable. Quand un grain nous arrive sur la tronche, ça sort du cadre. Idem entre les 2 extrémités du tunnel du Mont-Blanc.
Inférons un cran de plus : si on connait l'humidité relative d'un point de référence, et Patm(z), alors c’est gagné !

"Y'a deux catégories de gens dans la vie. Ceux qui ont les deux...et les autres, Amigo!..."
Regard bleu acier impénétrable, comme perdu au loin vers les montagnes[5], Blondin garde le silence...
En un éclair, il dégaine son colt et presse la détente -adiabatique.
P/Pref = (T/Tref)β
Gaffe, la température dans cette formule est en Kelvin!
On a typiquement β = 7/2 pour un gaz parfait diatomique.
Dans les conditions normales de température et pression, Tref=15°C et Pref=101325Pa.
Tout ça donne :
Patm(z) = 101325 * ((273.15+T(z))/288.15)7/2
Maintenant, il suffit de connaitre T(z) et ça sera -enfin- gagné!
Le colt de Blondin n'a pas qu'un balle. En atmosphère adiabatique sèche, la température varie selon le gradient γsec = -g/Cp = -9.81/1004 = -9,75°C/km
T(z) = 288.15 + γsec.z
C'est gagné!
.....Rablam! Le truand vous a truandé, et vous n'avez rien vu venir, AH AH AH AH!
Ben oui, quoi. J'ai dit qu'on utilisait une hypothèse fortement locale, et on l'a emplafonnée à chaque phrase, en plus d'escamoter complètement l'histoire d'humidité relative au point de référence. Faire comme s'il faisait tout autant 15°C sur les plages de Tahiti que chez les pingouins, été comme hiver, ça ne vous a pas choqué???
Idem pour β et Cp. Ce ne sont pas des constantes "en dur" (sensibilité significative à l'humidité, et de 2e ordre à la température).
Quand à g, sa valeur n'est pas 9.81m/s² partout sur le globe.
Reprenons proprement, avec des valeurs "climatiques" locales (Sud-Grésivaudan) et des pseudo-constantes correctes :
- g = 9.806m/s² au niveau de la mer à la latitude ~45° [6]
Patm(z=0) = P0 = 101325Pa. Ça, ça ne change pas. - zref=272m
Pour, par exemple, les conditions annuelles moyennes du site, on aura :
T(z=zref) = 12,11°C (moyenne annuelle)
Pvap(z=zref) = 1125 Pa.
Cette pression de vapeur moyenne n'est pas tiré de la moyenne des humidités relatives durant l'année, qui n'a aucun sens physique. C'est une vrai moyenne pondérée des Pvap mensuels calculés à partir des températures et humidités relatives mensuelles. - De là, on peut déterminer le reste par approximations successives. Pour plus de détail, voir le dernier chapitre.
- Cp = 1011 J/kg/K
- β = 3.506
- T0 = 14,75°C
- Pref = 98106 Pa
- On finit de tout ramener au niveau de la mer en calculant hr0
hr0 = Pvap(z=0)/Pvsat(T0) = P0 / Pref . Pvref / Pvsat(T0)
hr0 = 69.2%
Polom polom... Ca fait des petits changements pas si petits, n'est-ce pas?
Bonjour M.Phelps.
Votre mission, si toutefois vous l’acceptez, sera de trouver et identifier le point de rosée Td(hr0, T0, z), puis d'en exfiltrer le gradient de rosée à 2 ou 3 chiffres significatifs.
Comme d'habitude, si vous ou l'un de vos agents étiez capturés ou tués, le Département d'État nierait avoir eu connaissance de vos agissements.
Bonne chance, Jim!

Le temps de réunir ses acolytes préférés, puis c'est le traditionnel briefing.
Jim Phelps : Pour approcher le point de rosée, nous allons utiliser la méthode suivante :
T = T0 - g/Cp*z
Patm = 101325*((273,15+T(z)) / (273.15+T0))β
Pvap = Patm(z) * hr0 * Pvsat(T0) / 101325
Td(z) = Td(Pvap(z))
Bien. Des questions?
Cinnamon Carter : Pourquoi conserver hr0 et T0 au lieu de mettre leurs valeurs calculées précédemment?
Jim Phelps : Bien qu'on connaissent effectivement leur valeur moyenne annuelle, ces "codes" changent tous les jours. Nous devrons nous adapter sur place.
Barney Collier : La méthode "in situ" va consister à trouver les valeurs de g, Cp et β à partir de la localisation du site, ainsi que de l'humidité relative et températures ramenées au niveau de la mer. Puis on appliquera le jeu d'équations ci-dessus.
Bien, c'est parti...
Notez que les courbes de point de rosée ci-dessus sont issues du "calcul exact", en prenant en compte :
- la variabilité de g selon la latitude, mais aussi l'altitude du sol et l'altitude tout court
- la variabilité de Cp et β selon l'humidité et la température, et donc selon l'altitude
Du calcul itératif lourdingue... Mais l'équipe mission impossible a une confiance inébranlable en Wally Armitage et ses gros biscottos, toujours prompts à sauver la situation dans la discrétion la plus totale.
En comparaison, la méthode usuelle (g=9,81, etc...) marche de façon très convenable sous conditions standard. Ailleurs, ça part dans le décors (4°C d'erreur). C'est énorme..
Bon, on a obtenu un joli faisceau de droites à peu près parallèles. Reste que c'est au moins autant chaotique à décrypter que les situations où s'infiltrent l'équipe de Mission : Impossible...
C'était sans compter que les agents de M.Phelps sont de rusés renards.
- Et d'une, ils étaient totalement confiant dans l'excellente précision de la méthode "in situ". En fait, elle consiste à ne retenir que la sensibilité de Cp et β à la fraction de vapeur Pvap/Patm. Comme celle-ci est constante en détente adiabatique "sèche", cela revient à prendre les valeurs de Cp et β au niveau de la mer, et donc une sensibilité à uniquement Pvap(z=0).
- Et de deux, ils savent que, pour une température T0=T(z=0) donnée, fixer une valeur de l'humidité relative, c'est la même chose que fixer une valeur de pression de vapeur, ou bien fixer le point de rosée correspondant Tdsol=Td(z=0).
Du coup, Rollin Hand nous sort un déguisement de derrière les fagots (ou pas piqué des hannetons, si vous préférez).
Cp et β dépendent essentiellement de la fraction molaire xvap=Pvap/Patm. Leur sensibilité à la température est secondaire. Du coup, en régime adiabatique sec, cela revient à dire que Cp et β sont en pratique des constantes de Tdsol.
Toutes les courbes qui naissent d'un même point de rosée Tdsol peuvent être regroupées. Pour lire cette courbe Td(z, Tdsol), il suffit alors de dilater l’échelle z d’un facteur T0/Tdsol (en Kelvin), sans plus se préoccuper de l’humidité relative.
Est-ce que ce leurre va faire mordre à l'hameçon? Le point de rosée va-t-il tomber dans le panneau?
Mission impossible connait bien son job. D'abord user d'une confrontation-test avec quelques sous-fifres.
Voici plusieurs courbes Td correspondant à diverses températures et humidités relatives ayant le même point de rosée Tdsol = PointDeRosée(15°C, 25%HR)
Td(z,T,%hr) pour T et %hr liés par un même Td au niveau du sol
Alors, oui, toutes les courbes exprimant humidité relative ≥ 100 % n’ont pas de sens physique. Ne vous frappez pas, ne vous bloquez pas, ces courbes sont juste un artifice de calcul mathémagique pour étudier/illustrer les formules sur le point de rosée et son gradient. En pratique, le tri est fait au moment où on cherche à utiliser pour de bon le point de rosée. Le prochain article sur l’atmosphère donnera une application pratique. Quoi, j’ai dit 2x pratique ? Et alors! :-p
Ci-dessus, on a plus précisemment Tdsol = -4.306°C. Dans le zoom sur Td(z=1000m), regardons la courbe cyan et la courbe Phelps. Pardon, verte.
- Sur la courbe cyan en lecture directe, on atteint Td=-5,817°C à 1 127,605m.
Désolé pour la précision inutile, c'est juste pour montrer qu'il n'y a pas d'effet de manche. - Pour notre courbe "Phelps" T0=Tdsol=-4,306°C, en lecture directe, on atteint le même point de rosée à 1000m d'altitude.
- Appliquons le tour de passe-passe de l'Impossible Mission Force à la courbe "Phelps" :
1000*(273.15+30)/(273.15-4.306) = 1127,605m
CQFD ça marche, nickel ! [7]
Y'a pas à dire, comme toujours, la mission de M.Phelps se déroule -au début- sans anicroche. Un véritable tour de impossible mission force.
Aaah, ce diagramme est nettement plus lisible que le premier! Certes, ça ne vaut pas pas un Renoir, c’est clair. Mais la pureté des lignes, la simplicité des couleurs, l’abstraction de la rectitude qui s’échappe vers une perspective fulgurante évoquant définitivement la fraîcheur moite d’un matin d’automne… Totalement Suprématiste. Ca vaut au moins le carré blanc sur fond blanc de Malevitch !
En langage profane :
- les lignes sont étagées et sont grosso-modo des droites.
- la pente des « droites » semble varier un poil selon Tdsol. [8]
- il y a beaucoup (trop) de foutage de gueule dans l’art contemporain
On va regarder ça de plus près. (Je ne parle pas de l’art contemporain)
Tout d’abord, vérifions à quel point les « droites » sont des droites, en traçant la dérivée de Td selon l’altitude. C’est à dire le fameux gradient du point de rosée γd.
Triple « argh ! » :
Nos "droites" pour Td ne sont pas de vraies droites : leur pente γd varie de 4 à 7,5% sur 2500m
Le gradient γd varie de façon importante selon Tdsol : entre -1.38 et -1.96°C/km
On se retrouve avec 2 "paquets" distincts, selon que Tdsol est dans les températures négatives ou non !
Il y a quand même une bonne nouvelle. Toutes les courbes semblent parallèles, ce qui signifierait que le gradient de rosée est à variables séparées.
γd(Tdsol, z) = f(Tdsol) + g(z)
On va se la jouer saison 4 de IMF, c'est à dire « comme chez les Américains ». On commence par sélectionner "au pifomètre instruit" une courbe « moyenne » , puis on calcule la pente.
En guise de pifomètre, Barnier Collier nous dégote en 2 coups de cuillère à pot les courbes suivantes.
J'crois qu'c'est clair, la courbe Tdsol=5°C fera parfaitement l'affaire!
(-1.854e-3+1.756e-3)/2500 = -0,0392 °C/km/km
De là, le yankee affirme droit dans ses bottes que c’est la pente du gradient de rosée selon l’altitude, ouaip !
Barnier Collier fronce les sourcils. Ça risque de ne pas suffire, et c'est SON job d'assurer les arrières de l'équipe. Vite, une solution! Il essuie une goutte de concentration et procède à un dernier réglage, après avoir remarqué que les courbes ci-dessus semblent étagées de façon linéaire par rapport à Tdsol. Il rectifie le gradient d'autant en Kelvin avant d'extraire la pente... Reste à entrer le "vrai code de référence", qui devient Tdsol=-15°C. Déclic de la porte blindée électronique du Saint des Saints. Visiblement, c'est gagné!
La variabilité du gradient de rosée peut être approximée par :
γd = γdz=0 – z*0,0416e-6*(273.15-15)/TdsolK = γdz=0 – z*10,74e-6/Tdz=0 en kelvin
Alors McGyver, c'est qui l'patron!!!
Barnier Collier nous liquide ça avec dernier bricolage de génie en moins de 3 minutes. En « empilant » les unes sur les autres les courbes décrivant l'écart entre modèle et gradient vrai. Histoire de signer sa démonstration de force du précédent paragraphe, pas pingre pour 2 sous, il nous gratifie du résultat avant et après rectification.
L'erreur résultant de l'approximation γd=γdsol – k.z est inférieure à 0,8%. On gagne un facteur2 avec γd=γdsol – k.z/Tdsol
Ouch! Effectivement, avec un écart au pire de ~0,008°C/km pour l'approximation à l'arrache, l'équipe Mission : Impossible aurait clairement compromis le 3e chiffre significatif, et peut-être même le 2e...
Grâce à la dernière manip' de Barnier, on est au pire à 0,0035°C/km de précision. On a eu chaud, mais ça passe...
Notez que, si tous les gradients étaient exactement des droites, le résultat serait « flatline ».

Notez aussi que, si γd ou le gradient "rectifié" γd.Tdsol étaient effectivement "à variables séparées", alors nous aurions dû obtenir une unique courbe -à un résidu pouillesmesque près. Ce n'est pas complètement le cas...
Comme toujours au milieu d'une mission IMF, l'issue s'avère loin d'être certaine, malgré un plan initial aux petits oignons. Comme toujours, Les agents devront improviser afin de se sortir du guêpier. Typiquement en traçant in fine l'erreur entre modèle et valeur exacte de γd.
Soudain, M.Phelps jette son regard bleu acier typique le plus intense. Comme un « détail » oublié qui pourrait tout faire capoter…
Bon sang, mais c'est bien sûr! Le facteur d’échelle T0/Tdsol sur les abscisses z !
En effet, on avait dit que pour passer des diagrammes de point de rosée basés sur Tdsol à des valeurs utilisables dans la vraie vie (%hr0, T0), il fallait dilater l'échelle de T0/Tdsol. Est-ce qu'on a tout planté dans nos diagrammes de rosée?
Rollin Hand sourit. Un peu de manipulation psychologique improvisée, et tout restera sous contrôle, comme toujours.
Td(%hr0, T0, z) = Td(Tdsol, z*Tdsolkelvin/T0kelvin)
γd (%hr0, T0, z) = ∂Td(%hr, T0, z)/∂z = Tdsolkelvin/T0kelvin . γd(Tdsol, z*Tdsolkelvin/T0kelvin)
Pour passer de la courbe "Hand" (gradient sur Tdsol) à la courbe vraie (gradient sur hr0 et T0), en plus de la dilatation d'échelle précédente, il suffit de multiplier les courbes γd(Tdsol,z) par Tdsol/T0 , et le tour est joué! En plus, comme ce facteur multiplicatif est forcément <1, on est assuré de ne pas perdre en précision. Ouf!
Attention, ce facteur multiplicatif utilise des températures en Kelvin, pas en Celsius!
Pour les plus sceptiques, voici les courbes qui permettent de vérifier la validité de la manip'.
Pour passer de γd(Tdsol, z) à γd(%hr0, T0, z), il faut multiplier γd par Tdsol/T0 et dilater l'altitude par T0/Tdsol le même facteur. Ici les courbes exprimant le chemin inverse.
Ouf, la mission peut continuer!
On aborde une phase critique : le moment où l'équipe de Jim Phelps retourne psychologiquement sa cible comme une chaussette...
Auparavant, on a tracé des courbes du gradient selon l'altitude, pour quelques valeurs de Tdsol. Pour étudier γdsol, on inverse la vapeur en traçant γd selon Tdsol au sol pour quelques altitudes.
γd(Tdsol,z) selon Tdsol, corrigé de l'altitude. Limite eau-glace
A-ah! C'est lisse comme une robe de soie de Cinnamon Carter, si ce n'est un gros plis du côté de Tdsol=0°C. Le mini-flingue de la femme fatale? Ou un microphone-espion de Barney?
A ce détail près, c'est visiblement linéraire. Faisons dans la foulée les 2 régressions :
- Td<0°C : γdz=0(Tdsol) = -1.516e-3 – 5.61e-6*Tdsol
- Td>0°C : γdz=0(Tdsol) = -1.721e-3 – 7.19e-6*Tdsol
Brèfle, voici ci-dessous la forme générique de notre modèle du gradient de rosée, en Kelvin. Notez qu'on passe des valeurs numériques en Celsius ci-dessus à la formule ci-dessous en Kelvin via bK = b°C+a*273,15. Les autres coefficients ne sont pas affectés.
γd(TdsolK,z) = γdz=0 + C.z/TdsolK = BK + A.TdsolK + C.z/TdsolK
De là, on peut tout à fait intègrer cette formule pour retomber une approximation du point de rosée :
TdK = TdsolK + BK.z + A.z.TdsolK + ½ C.z²/TdsolK
Mpfff... Ça nous fait une belle jambe!
Atta, atta... C'est quoi le bout de jupe plissée évoqué ci-dessus, mmh? Et bien, tout simplement, c'est le passage eau liquide vers glace ; c'est à dire l'altitude z0 où Td passe par 0°C. Ou alternativement, le Tdsol0 correspondant à la limite de givrage pour une altitude donnée.
Cinnamon Carter jette un regard glaçant, laissant chacun l'interpréter comme il l'entend :
(1+A.z).TdsolK² + (BK.z-TdK).TdsolK + ½ C.z² = 0
½ .C/TdsolK.z² + (BK + A.TdsolK).z + (TdsolK-TdK) =0
Chaque larron en tire sa conclusion personnelle. Et Cinnamon Carter compte bien là-dessus!
Lien entre altitude, point de rosée à cette altitude, et point de rosée au niveau de la mer (en Kelvin).
Notez que ces formules sont valables pour une valeur quelconque de Td, pas seulement Td=0°C.
Fait est que l'un des larrons est un inconditionnel de Whiskey sur eau. L'autre sur glace. S'ils venaient à s'enquérir du cas limite du passage eau→glace entre 0m et z, la situation deviendrait...explosive!
Comprendre : ces formules sont valables uniquement si Tdsol et Td sont tous deux sur eau liquide, ou tous deux sur glace[9]
Dans le précédent jeu de courbes, on a superposé z0(Tdsol), dont il s'avère que c'est quasiment une droite. Cela nous permet de partir graphiquement d'une altitude donnée, remonter au Tdsol0 correspondant, puis comparer à l'emplacement des plits, et... Et ça marche nickel chrome
Reste que ces formules sont lourdes. Un risque pour la mission Jim Phelps. Usant d'une scène de Diva dont elle a le secret, Cinnamon Carter les escamote ni vu ni connu par un vrai faux[10] fabriqué en live par le faussaire débauché pour l'occasion, nom de code "Wolfram Alpha Taylor".
Nous somme dans l'ultime phase de notre épisode de Mission : Impossible. Celle où tout se précipite de façon chaotique avant l'exfiltration finale des agents.
Le décrochage qu’on vient de voir, c’est le passage d’un point de rosée calculée sur la glace (givrage) à un point de rosée calculé sur l’eau (condensation).
Du coup, quelles valeurs faut-il prendre pour le gradient de rosée?
Gradient de rosée sur glace ?
Pertinent en hiver dans la petite Sibérie, ou en altitude. Le hic, c’est qu’on va se retrouver salement décalé tout le reste du temps...Gradient de rosée sur eau ?
L’altitude moyenne de la France est de 342m. Si on élague les reliefs inhabitables ou largement inhabités, c’est encore moins. Disons 230m, pile-poil mon chez-moi
(quoi, j’ai le pifomètre un peu chauvin, et alors?...)
A cette altitude, en pratique, on est presque toujours sur eau. Revers de la médaille, au coeur de l'hiver, on écope d'un décalage sur le gradient de rosée de 0.2°C/km à 0.4°C/km...
La moyenne des deux ?...
C’est tentant, n’est-ce pas… Du coup, on est pas trop biaisé. En contrepartie, le biais, c’est tout le temps, ce qui est assez discutable, et somme toute assez franchement nul après toute la gesticulation neuronale qu’on vient de se taper!... Ou les deux mon capitaine ?
Effectivement, on peut imaginer prendre le gradient sur eau à partir du sol, monter jusqu’au seuil de givrage Td=0, puis passer au gradient sur glace. Ca complexifie nettement le biniou, quand même…
Faute d’argument qui tient tout seul sur ses deux jambes, on va prendre une béquille (aïe-kido). Ca évitera de trébucher et se casser un orteil (j'dis ça, j'dis rien...)
La formule de Hennig, parait-il encore enseignée par la FAA, suppose un gradient de rosée sensiblement constant de -1.8°C/km. Comparons à notre premier graphe du gradient. Mmmh... Il est clair que Hennig et consorts sont dans le domaine de γdl (gradient de rosée sur eau liquide).

Voici la formule du Pr Sato du gradient du point de rosée :
γd(z,Tz=0, Tdz=0) = -(B + A.Tdz=0)*(273.15+Tdz=0)/(273.15+Tz=0) - C.z/(273.15+Tz=0)
- C = 10,74e-6 K²/m²
- coefficients sur eau liquide
- Al = 7,19e-6 m-1
- Bl = 1,721e-3 °C/m
- coefficients sur glace
- Ag = 5.61e-6 m-1
- Bg = 1,516e-3 °C/m
Attention, ces coefficients sont valables pour la latitude 45°. Pour une autre latitude, faites chauffer vos machines (ou patientez jusqu'au dernier chapitre de cet article...)
En sélectionnant tout simplement le jeu de coefficients sur la base du point de rosée au sol (strictement positif ou négatif), voici ce que ça donne.
Variabilité du gradient de rosée, écart entre le résultat de l'étude graphique et valeur exacte de γd
Bon, ben, j'crois qu'c'est clair :
- Prendre une valeur constante pour le gradient du point de rosée, c'est très approximatif et très très arbitraire! Il varie selon les conditions entre -1,1 et 2°C/km...
- Omettre totalement la problématique du passage eau-glace, comme dans Henning et consorts, c'est introduire une erreur sur le gradient de al-ag=~0.2°C/km...
- Pour une faible variation d'altitude, on peut négliger la sensibilité de γd à z
- En pratique, la précision de notre modèle linéaire est meilleure que 0.013°C/km!
Mission accomplie : on a nos 3 chiffres significatifs.
Ok, j'exagère un peu : c'est la précision qu'on obtient effectivement sauf quand on se heurte à un passage eau-glace, ce qui reste "rare". Sur le crible de 55 courbes ci-dessus, ça n'arrive que 3 fois.
Y'a pas à dire, l'équipe de M.Phelps est redoutable.
Rembobinons un peu. Au fait, à quoi ce modèle peut-il bien servir?
Après tout, on a démontré qu'on pouvait dériver le point de rosée et son gradient sans autre concession que la sélection in situ des valeurs de Cp et β. Donc pourquoi aller se faire suer avec cette formule du gradient?
Et bien, comme on dit, chacun voit midi à sa porte...
- A titre éducatif ou pour du calcul formel, le modèle simplifié permet d'appréhender immédiatement à quoi le gradient de rosée est sensible, et comment.
- Pour les pilotes et autres vélivolistes pas-du-dimanche, c'est à dire qui volent été comme hiver, peut-être qu'ils ne cracheront pas sur une amélioration d'un bon ordre de grandeur?
- Pour les météo-amateurs qui se crêpent régulièrement le chignon sur "la vraie valeur" du gradient de rosée, peut-être que ça peut aider à recadrer la discussion vers des problématiques plus concrètes?
- Nous, on est plutôt bilan hygrothermique et autres calculs de coin-coin de table relatifs au bâtiment.
En pratique, ça nous met à disposition un modèle simplissime à coder dans un tableur ou injecter dans un calcul. Par exemple, pour une transposition rapide de données climatiques depuis une station météo vers le site d'intérêt.
Le gros avantage de cette formule de gradient de rosée, c'est sa simplicité. En particulier, il contourne le besoin de déterminer Cp et β en fonction des conditions in situ.
Dans tous les cas, il sera du ressort de chacun d'apprécier comment gérer le passage eau-glace, selon le contexte. Et retoucher au besoin les paramètres a,b,c selon la latitude.
6 Et pour approfondir...
Pour obtenir les courbes ci-dessous, on utilise Cp(xvap,T) = Cp(Pvapz=0/Patmz=0,T) ~ Cp(Pvapz=0/Patmz=0,15°C). Et du pareil au même pour β.
Pour mémoire, concernant le coef de détente adiabatique réversible selon la pression et la température :
β =γ / (γ-1)
où γ = Cp/Cv est le rapport des capacités thermiques
où Cv = Cp-Rs est la capacité thermique isochore
où Rs = R/M est la "constante" spécifique de l'air humide
où R est la constante des gaz parfait, et M la masse molaire de l'air humide (qui dépend de la fraction de vapeur xvap)
où xvap varie ici de 0 à Pvsat(15°C)=1705Pa
Hou hou fait le hibou....
Ahem, désolé.
On en déduit β = Cp/Rs = M.Cp/R
En remarquant que la masse molaire de l'air humide reste ici relativement proche de la masse molaire de l'air sec, ci git l'explication d'une courbe β quasi-proportionnelle à celle de Cp.
Pour les formules permettant d'accéder à Cp(xvap,T), désolé, il faudra patienter jusqu'à publication de l'article sur les propriétés thermophysiques de l'air humide.
Normalement, on connaît facilement les conditions in situ (température, humidité relative, altitude, et éventuellement pression atmosphérique). Le hic, c’est que les modèles commencent au niveau de la mer. Du coup, comment fait-on ?
Dans l'approche du gradient par l'équipe Mission Impossible, M.Phelps a usé tant et plus de la stratégie approximation+inférence+vérification a posteriori. Pour changer, nous allons ici procéder « sans approximation ».
Prenons, par exemple, les données climatologiques par défaut de la feuille de calcul bilan hygrothermique.
- Données de base
- g = 9.806m/s² au niveau de la mer à la latitude ~45°
- Pression moyenne au niveau de la mer 101325Pa
- Altitude zref = 230m
- Température moyenne annuelle Tref = 12,11°C (moyenne annuelle)
- Pour l’humidité, Pvapref = 1125 Pa.
Cette pression de vapeur n’est pas issue d’une moyenne des humidités relatives, ce qui n’a pas de sens physique. Ce qui a plus de sens, c’est la moyenne annuelle des pressions de vapeur, que l’on construit à partir chaque humidité relative (et chaque température).
- On en déduit le point de rosée Tdref=8,7°C
- Cela nous donne accès à une valeur approchée de la capacité thermique isobare et du coefficient adiabatique en P&T (celle au niveau de la mer pour le même point de rosée)
Cp = 1011 J/kg/K
β = 3.506 - De là, on peut calculer des valeurs approchées T0 ~ Tref +g/Cp, puis remonter à Patmref = Patm0*(Tref/T0)β. Cela revient à considérer pour l’instant que Cp et β sont invariant dans la colonne d’atmosphère.
- Cela nous donne accès à une valeur approchée de la capacité thermique isobare et du coefficient adiabatique en P&T (celle au niveau de la mer pour le même point de rosée)
- Puis on boucle (calcul de Cp et β à partir de Pvapref/Patmref, puis recalcul de T0 et Patmref) jusqu’à obtention d’une précision convenable. Ce qui est presque immédiat.
- Enfin, si on avait encore un peu de courage, on pourrait terminer en abandonnant l’hypothèse in situ sur Cp et β. Là, pas trop le choix, il faut faire une recherche de valeur cible sur T0, Pvap0 qui débouche sur Tref, Pvapref.
- calcul itératif aux petits éléments à partir de z=0 :
- T(z+dz) = T(z) – g(z)/Cp(xvap,T(z))*dz
- Patm(z+dz) = Patm(z)*(T(z+dz)/T(z)) β(xvap,T(z))
- puis calcul en bloc Pvap(zref) = xvap * Patm(zref)
- calcul itératif aux petits éléments à partir de z=0 :
Cette dernière étape est-elle vraiment nécessaire ? C'est quoi une précision « convenable » ?
- Pour mémoire, Buck96 introduit un écart entre 0 et +0,2 % (qui n'est pas forcément une erreur)
- Pour les données climatologiques, on peut s’attendre à une précision sur les valeurs T0 et Patm de l'ordre de 0,05°C et +/-50Pa.
En l’occurrence, le calcul d’erreur est assez pénible. A la place, injectons ces variabilités dans la méthode in situ pour diverses valeurs de T0 et %hr0, contre le calcul itératif depuis le niveau de la mer (dont une "correction" manuelle de 0,17% du biais moyen de Buck96). Et voyons quelle est la « largeur du trait » qui en découle...
Calcul d'erreur du modèle in situ, toutes humidités relatives confondues. Chaque couleur représente T0=-15, 0, 15 ou 30°C.
- A l’imprécision initiale sur T0 se cumule une erreur de +0,01°C max
- Pour Patm, l’erreur additionnelle n’excède pas 30Pa, et tend à atténuer l’imprécision initiale sur Patm0.
- L’erreur additionnelle sur Pvap est proportionnellement la même que pour la pression atmosphérique : 30/101325 = 0,03 % soit ~0,3Pa dans le cas présent.
Tout ceci situe quelle est le niveau de précision max qui fait sens pour l'étape (3), et confirme qu’on ne fera pas une jaunisse en se passant de l’étape (4).
Au début de l’article, nous avons donné une expression analytique du point de rosée. Pour son gradient, au lieu de travailler sur des courbes et papilloner entre considérations et approximations successives, nous pouvons tout simplement suivre le fil d’Ariane qu’est la composition des fonctions :
γd = dTd/dz = dTd/dαvap * dαvap/dPvap * dPvap/dPatm * ∂Patm/∂T * ∂T/∂z
Voici les bouts qu'on a facilement, dans l'ordre de droite à gauche :
- ∂T/∂z = -g(1/Cp - z/Cp².∂Cp/∂z) = γsec(1 - z/Cp . ∂Cp/∂z)
- Patm(z)/Patm0 = [Tkelvin(z)/T0kelvin]β
=> ∂Patm/∂T = Patm . β/Tkelvin (1+ Tkelvin/β.∂β/∂T.ln(Tkelvin/T0kelvin)) - xvap = Pvap/Patm = cste
- => dPvap/dPatm = xvap
- αvap = b/2*(a-ln(Pvap/p0))
=> dαvap/dPvap = -b/(2Pvap)
Hypothèse supplémentaire : la variabilité de Cp et β est négligeable dans la colonne d'air humide en ascension adiabatique.
Ce n'est plus vraiment ici une hypothèse, puisqu'on a déjà démontré son bien-fondé plusieurs fois. Si d'aucun veut une énième preuve -moins graphique et plus formelle, voici la bille :
∂Cp/∂T ~ 0,052 J/kg/K² à 15°C et 70%hr au niveau de la mer
Recollons déjà ces premiers morceaux.
dαvap/dz = -b/(2Pvap) * xvap * Patm.β/Tkelvin* γsec = -b/2 * β.γsec / Tkelvin
Au passage, β.γsec = M.Cp/R.(-g)/Cp = -gM/R, où M a le bon goût de ne dépendre que de xvap.
Reste à connaitre le premier membre dTd/dαvap...
C’est là qu’on va utiliser une formulation de αvap qui traine encore sous notre coude (je parie que vous l'aviez oubliée depuis le temps).
αvap = ab/2 * (1+Td²/abc)/(1 + Td/c)
Et là, vous vous dites « ça y est, il a pété une durit et il tourne en rond ».
Chh..., laissez vous porter... C’est une valse… Un léger vertige virevoltant qui va de l’avant ;-)
Entraînés par la foule qui s'élance, et qui danse une folle farandole... (E.Piaf)
dαvap/dTd = ab/2 . [ 2Td/abc / (1+Td/c) - (1+Td²/abc).1/c . 1/(1+Td/c)²]
dαvap/dTd = ab/2c/(1+Td/c)² . [ 2Td/ab.(1+Td/c) - (1+Td²/abc)]
dαvap/dTd = ab/2c/(1+Td/c)² . [ -1 + 2Td/ab + Td²/abc]
dTd/dαvap = -2/b . c/a . (1+Td/c)² / (1 – 2Td/ab - Td²/abc)
Voici enfin notre expression formelle du gradient de rosée en régime adiabatique
Expression formelle du gradient de rosée/givre en régime adiabatique, sur la base de Buck96, sous hypothèse d'invariance de Cp et Beta vs. T
Note: nous tenons ici une formule rigoureuse et explicite à altitude quelconque!
Mais, là, vous allez me dire avec un air de caniche abattu (ou de chat botté culotté) que c'est définitivement mort, à cause de Td(z).
Comme disait François-Joseph 1er à sa douce qui désespérait des blocages de la belldoche : « Si-si, tant qu’on peut encore avancer ne serait-ce que d’un pas, ça se tante! »[11].
Par exemple, on peut calculer la valeur du gradient au niveau de la mer quand le point de rosée y est de 0°C, et identifier le terme B de la formule trouvée graphiquement.
γd0 = -gM0/RT0k.c/a = -B.273,15/T0k
Expression formelle du terme B, avec M0 la masse molaire de l'air humide aux conditions de référence
D'un point de vue strictement formel, M0 est la masse molaire de l'air humide au niveau de la mer pour un point de rosée de 0°C. On obtient alors :
M0 = 28,9 g/mol
Bl = -1.718 °C/km
Bg = -1.516 °C/km
Il y a un petit écart entre entre Bl formel et Bl graphique. Pourquoi? Et bien, dans l'étude graphique, on a minimisé l'erreur globale, ce qui peut introduire un peu d'erreur localement. Si vous vous souvenez bien, à un moment, nous nous étions appuyés sur une courbe Tdsol=-15°C. Recalculons ce que donnerait Bl dans ces conditions :
M0 ~ 28,95 g/mol
Bl ~ -1.721 °C/km
Et voilà, ceci explique cela.
Allez, c'est pas fini, on va s'occuper maintenant de la variabilité selon l'altitude...
Calculons la dérivée partielle du gradient selon l'altitude :
∂γd/∂z = -gM/R.c/a.[ -1/Tk².dTk/dz . (_blablabla_) + 1/Tk.∂(_blablabla_)/∂Td.∂Td/∂z ]
∂γd/∂z = -gM/RTk.c/a.[ -γsec/Tk.(_blablabla_) + γd.∂(_blablabla_)/∂Td ]
∂(_blablabla_)/∂Td = _blibloblu_ / (1-2Td/ab-Td²/abc)²
_blibloblu_ = 2/c.(1+Td/c).(1 - 2Td/ab - Td²/abc) - (1+Td/c)².(-2/ab-2Td/abc)
_blibloblu_= 2.(1+Td/c).[1/c - 2Td/abc - Td²/abc² + (1+Td/c).1/ab.(1+Td/c)]
_blibloblu_= 2.(1+Td/c).[1/c + 1/ab - (1+Td/c)²/ab + (1+Td/c)²/ab]
En particulier pour z=0 et Tdsol=0°C :
γdz = ∂γd/∂zz=0, Tdsol=0 = γd0.[ g/Cp0.T0k + 2γd0.(1/c+1/ab) ]
γdz = -B.273.15/T0k².[ g/Cp0 - 2.273,15.B.(1/c+1/ab) ]
A-ah! Avons nous loupé quelque chose d'intéressant dans l'étude graphique?
Formellement oui. En pratique, pas sûr. On jugera sur pièce à la fin...
Expression formelle du terme C, avec Cp0 la capacité thermique isobare de l'air humide aux conditions de référence
Pour rester sur l'approche formelle, les valeurs sont à prendre au voisinage de z=0 et Tdsol=0 (et accessoirement T=15°C pour une valeur de Cp cohérente avec nos moyennes annuelles). Dans ce cadre, on aura plutôt :
Cp0 = 1008 J/kg/K
C'l = 2,752e-3 K3/m2
C'g = 2,758e-3 K3/m2
==> C ~ moyenne(C'g,C'l) / 273,15 = 2,755e-3 / 273,15 = 10.086e-6 K²/m²
On est presque rendus.
En fait, depuis le début, nous sommes en train de faire un développement de Taylor du gradient de rosée en z=0m, Tdsol=0°C, et Tz=0 quelconque :
γd = γd0 + γd1.Tdsol + γdz.z + O(Tdsol+z)
γd1 = ∂γd/∂Tdsol(z=0,Tdsol=0)
Il ne reste plus qu'à s'occuper du 2e membre, en utilisant une évidence : Td=Tdsol en z=0!
∂γd/∂Td = -g/RTk.c/a.[ dM/dTdsol.(_blablabla_) + M. d(_blablabla_)/dTdsol ]
avec pour mémoire (_blablabla_) = -b/2.a/c.dTd/dαvap
M = Ma.xa+Mv.xv => dM/dxv = -(Ma-Mv)
On en déduit :
dM/dTdsol.(_blablabla_) = -b/2.a/c . dM/dxv.dxv/dPvap.dPvap/dαvap.dαvap/dTd . dTd/dαvap
= -b/2.a/c . -(Ma-Mv) . 1/Patm . -2Pvap/b
= a/c . -(Ma-Mv) . xv
L'autre membre a déjà été calculé à M près :
M.d(_blablabla_)/dTdsol = M.2.(1/c+1/ab).(1+Td/c)/(1-2Td/ab-Td²/abc)²
Au final en z=0 et Tdsol=0 :
γd1 = γd0.[2.(1/c+1/ab) - a/c.(Ma-Mv)/M0.xv0]
Et comme γd1 = (-B - A.273.15)/T0k, on en déduit :
Expression formelle du terme C, avec Ma et Mv les masses molaires de l'air sec et de la vapeur, et xvap la fraction molaire de vapeur aux conditions de référence
Ma-Mv = 10.95g/mol
Pvsat(0°C) = 611.21Pa
Al = 7.57e-6
Ag = 5.39e-6
Là aussi, on est proche des valeurs trouvées dans l'étude graphique.
Attention, ça ne prouve pas que le développement limité selon Tdsol² tombe forcément sur un terme A.Tdsol²/T0k!
Et, d'ailleurs, ce n'est pas le cas. Voici le terme en Tdsol² du développement limité :
γd2 = γd0.[ 2.(1/c+1/ab).(1/c + 4/ab) - .a/c .(a/c + 2.(1/c+1/ab)).(Ma-Mv)/M0 . xv ]
CQFD, ce n'est pas la même chose. Et en valeur? γd2 est de la forme -A'/T0k avec :
A'l = 12.25e-6
A'g = 5.57e-6
Autant ça marche pas mal sur glace, autant on est du simple ou double sur eau liquide!
Au final, le développement limité local en z=0m et Tdsol=0°C jusqu'à O(Tdsol²+z) est formellement plus fondé que le résultat de l'étude graphique, et fait apparaître des coefficients proches sans être parfaitement raccord. Néanmoins, son écart au γd vrai est moins bon que le résultat de l'étude graphique, qui bénéficie d'un ajustement global.
(erreur max 0.027°C/km, soit le double du modèle graphique)
[1] Pour alimenter la feuille de calcul bilan hygrothermique, ainsi que mes pas-si-menus calculs de puits canadien (à paraître).
[2] Coin au pluriel, car, j’avoue, un seul p’tit coin n’y suffisait plus...
[3] Qui a dit « sauf en Bretagne » ? Avant de faire son malin, vérifiez la liste des zones humides de France
[4] J'avais rédigé cette phrase "spécial dédicace" début août 2017. Un mois plus tard, Flyben nous quittait lâchement, sa moto fauchée par une automobiliste sortant d'une route latérale et qui ne l'avait pas vu. A ta santé, Benjamin...
[5] Où comment donner une magistrale leçon sur "Enza no metsuke" aux pratiquants d'arts martiaux, quand on s'appelle Sergio Leone <clap clap> <lien enza no metsuke>
[6] Pour la "constante" de pesanteur terrestre, attention, les articles wikipédia tant français qu'anglais cafouillent un peu (à partir du 3e chiffre significatif). Pour des formules officielles, le mieux est d'aller piocher directement chez le Bureau Gravimétrique International, en particulier ce document. A noter : dans notre contexte, l'influence de l'altitude est pouillesmesque
[7] Pour les plus sceptiques, voici la démonstration formelle de la dilatation de l'échelle des altitudes, basée sur le fait que g, Cp et β (et donc γsec) sont localement assimilables à des constantes pour le point de rosée.
Considérons :
Pour avoir Td1(z1) = Td2(z), il faut nécessairement Pvap1(z1) = Pvap2(z) |
[8] Evidemment, ce n’est pas un scoop. Les lignes « adiabatique sèche » d’un émagramme expriment la même chose : pas tout à fait des droites, ni tout à fait parallèles. Si vous voulez en savoir plus sur les émagrammes, et aussi sur les diverses instabiiltés météo, cf. cette doc. C'est cadeau!
[9] En comptant large (2500m d'altitude et Tdsol de -25 à 25°C), le passage eau-glace n'intervient finalement que dans un domaine très limité : pour 2500 max, ça corrspond à Tdsol entre 0°C et ~4,5°C. Dans ce cadre, Td est sur eau jusqu'à z ≤ z0l, et passe sur glace au-dessus. Autrement dit :
- 0 < z ≤ z0l → Td = Tdsol + bl.z + al.z.Tdsol + ½ c.z²/(Tdsol+273.15)
- z > z0 → Td = Tdsol + bl.z0 + bg.(z-z0) + al.z0.Tdsol + ag.(z-z0).Tdsol + ½ c.z²/(Tdsol+273.15)
En règle générale, on connait (Td, z) mà où on se trouve. Comment faire pour remonter à Tdsol et z0l dans ces circonstances? A priori, on a plusieurs possibilités :
- Bourriner en faisant comme si on était entièrement sur eau ou entièrement sur glace.
C'est possible si le passage eau-glace est :- ou bien proche de z (donc Td très légèrement négatif)
- ou bien proche de z=0 (donc Td très légèrement positif
- anecdotique car on travaille sur des altitudes rapprochées (~100m)
- Calculer un Tdsolg fictif sur glace, pour en déduire une pseudo limite de givrage z0g (calculée sur glace itou), puis remonter au vrai Tdsol.
Tentant, n'est-ce pas?
Et non, ça ne marche pas. L'erreur est d'environ 0,25°C pour 2500m.
Au passage, et sans véritable surprise, bourriner aveuglément sur eau liquide amène une erreur similaire... - Dans la formule de Td, remplacer Tdsol son expression à partir de z0, puis essayer d'inverser tout ce bazar pour obtenir une fonction z0(Td,z), et enfin remonter à Tdsol.
- Alternativement, dans la formule de Td, remplacer z0 par son expression à partir de Tdsol, puis inverser Td(z,Tdsol). Sortir z0 n'est ensuite qu'une formalité.
J'ai retenu cette dernière méthode. On obtient la formule brute de Tdsol(Td, z>z0) :
Δ = -0,0048456.Td + 6,3007e-11.z² - 0,0000172292.z + 0,775914
Tdsol = (7,19734e-11.z² - 5,61e-6.z + 0,88086 - sqrt(Δ))/2/0,0012114
Cette formule est à 0,035°C près, avec un écart relativement linéaire en z et Tdsol (si je puis dire).
Cet écart ne résulte pas d'un cumul d'erreurs d'approximation. En fait, c'est un comportement intrinsèque : si on regarde attentivement la partie haute des "plis" des courbes Td(Tdsol), la droite support du haut semble accuser un léger angle en Td=0. Pas étonnant en soi, puisque cela correspond à une loi Pvsat() sur eau au niveau du sol, et en altitude une loi inverse PointDeRosée() sur glace. Ailleurs, ils sont soit tous les deux sur eau liquide, soit tout les deux sur glace. En toute rigueur, on aurait donc dû extraire le 3e jeu de coefficients a et b, spécifique à cette situation.
Si ça vous tente, faites vous plasir!...
Formulation alternative, dont je n'ai pas vérifié la précision :
363,571.(1 - 6,36878e-6.z + 8,17081e-11.z² - sqrt(1 - 0,00624502.Td - 0,000022205.z + 8,12036e-11.z²) )
Rien n'interdirait de rechercher une approximation plus sympathique via un développement de Taylor en triant les termes significatifs.
Si ça vous tente, là aussi, faites vous plasir!...
Voici la méthodologie utilisée pour obtenir la formule que j'ai donnée plus haut :
- Injection de z0 = (581,17+1,43*Tdsol)*Tdsol
- Ré-écriture pour une notation compatible avec Wolfram Alpha *soupir*
x + (-1.516e-3 -5.61e-6*x)*a + (-0.205e-3 -1.58e-6*x)*x*(581.17+1.43*x) -10.74e-6/2*a^2/(x+273.15)
où z ↔ a et Tdsol ↔ x - Développement de Taylor d'ordre 2 (merci Wolfram Alpha!)
- Négliger -2.63494e-13.z² << 0.0012114 dans le facteur du 2e degré
- Inversion par résolution manuelle de cette équation du second degré Td=f(Tdsol,z)
("inverse" sous Wolfram Alpha est ici complètement à l'ouest) - Développement de delta et élimination de quelques termes totalement négligeables devant les autres
- Vérification en appliquant la formule en chaque point d'une famille de courbes Td(z,dsol) issues de l'application itérative des lois physiques (et non du modèle du gradient), puis tracé de l'écart à Tdsol vrai.
Je confirme, c'est du boulot!
Au passage, ce problème de discontinuité au passage eau-glace semble totalement occulté dans la formule "analytique, exacte et explicite" du gradient de rosée par ascension publiée par David Romps en 2017.
Polom polom... J'dis ça, j'dis rien...
[10] Ces formules approchées sont tout simplement les développements de Taylor des formules « exactes ». Pourquoi des guillemets? Tout simplement parce qu’elles sont des expressions mathématiques exactes issues d’un modèle = une approximation. Auquel cas, sous couvert d’une vérification vis à vis du Td(z) vrai, une approximation en vaut bien une autre ! En l'occurence, on est à moins d'1m et moins de 0,001°C d'écart.
Pour z(Tdsol, Td), le résultat formel est horrible (qu’on le fasse en Celsius, en Kelvin, pour Tdsol au voisinage de 0°C, ou pour Tdsol au voisinage de Td). Fort heureusement, on a juste besoin de garder un œil sur l’altitude limite de givrage (i.e. eau vers glace). D’où le résultat numérique pour le développement de Taylor de z0liquide(Tdsol).
Pourquoi ne pas avoir donné l'équivalent z0glace(Tdsol) ?
Euh, pour quoi faire? En effet, il traduit un Tdsol<0 et une limite de passage glace vers eau, donc, forcément, une altitude négative. Il n'y a très peu d'endroits concernés sur Terre, Ok, ok, je cède à votre curiosité :
z0g = 659.633*Tdsol + 3.20276*Tdsol²
[11] La tante de Sissi (qui signait parfois aussi Sisi) était sa belle-mère Sophie (opposée à son mariage). Et réciproquement pour François-Joseph vs. Ludovica (qui a contrario a apporté un certain soutien aux prétendants). Les deux belles-mères-tantes étaient en effet soeurs et filles de Caroline de Bade. C'était la minute inutile de Zitrone-Berne...