Mu et flux de vapeur : addendum concernant la perméabilité

Dans « la tirade du mu », la 1^ère note de bas de page explique que -prenez votre souffle- la « perméabilité de l’air considéré immobile à la diffusion de vapeur d’eau » π_air n’est pas une constante. Elle est sensible à la température, qui varie significativement depuis l’intérieur bien douillet de l’habitat vers l’extérieur où il pèle en hiver.

Or, dans la feuille de calcul bilan_hygrothermique.ods (et la quasi-totalité des diagrammes de Glaser, y compris ceux certifiés conforme norme EN trucmuche^[1] ), la perméabilité de l'air est utilisée comme si elle était constante!

(La noiraude : C’est grave, docteur ?)

La noiraude

Meuuuh non, la noiraude, pas grave du tout.

(La noiraude : Ouf, merci Docteur !)

Je vois les scrupuleux interloqués, les curieux qui s’interrogent, les taupins qui s’insurgent. Et les fans de la noiraude qui écrasent un 'tite larme de nostalgie et ne m'écoutent plus, évidemment. Ah, tiens,  y'a aussi, vers le fond, quelques profs de math-physique qui se frottent les mains à l’idée d’un bon p’tit sujet d'exercice de derrière les fagots!

Je me suis claqué la tambouille il y a peu, autant que tout le monde en profite. Et puis comme ça je pourrai mettre à la poubelle sans arrière-pensée une partie de mes enveloppes griffonnées (pour le plus grand plaisir de Michelle) et oublier tout ça dès demain

C’parti…

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Considérons une paroi homogène d’épaisseur e et caractéristiques hygrothermiques μ et λ, en régime stationnaire unidimensionnel. On note Ti, Pvi sa température et sa pression de vapeur côté chaud, et respectivement Te, Pve côté froid.
...
Ca pète, hein ?...
J’ai toujours trouvé que ce style d'écriture des énoncés avait une saveur particulière, presqu’une odeur caractéristique de craie et d’encre de stylo plume… Oups, désolé, je m’égare.

Hein? Quoi? Vous voulez que je vous fasse un DESSIN? Humpf… Vous, savez, moi, les moutons… Bon, ok, ok. Et si je vous ressors mon schéma de la tirade du mu, ça fait la rue Michelle (aïe, pô taper) ?

Migration de vapeur d'eau au travers d'un matériau, avec l'extérieur/froid à gauche et l'intérieur/chaud à droite

Commençons de façon traditionnelle. C'est à dire par enfoncer quelques portes ouvertes, juste pour figer des éléments de langage. (Comme le coeur de la campagne présidentielle 2017? Polom polom...)

• La résistance thermique du matériau est R = e/λ (quel scoop !)
• Sa lame d’air équivalente est Sd = µ*e (encore un scoop !)
• Le flux de chaleur est uniforme, constant (ben forcément, régime stationnaire, tout ça...) On le note φ. (Cherchez pas, rien à voir avec le logo de Mélenchon!)
• Le flux de vapeur d’eau est uniforme, constant (normal, on n’a pas changé de régime, banane !). On le note Dv (pour débit de vapeur, j'imagine? Hyper original, surtout avec un schéma pourri où c'est marqué Qvap)

Eh oh !, c’est pas bientôt fini, ces commentaires de NAIN ?

(…l’est pas commode, le patron aujourd’hui…)

PARDON ?

(Le nain : …)

Bon, reprenons. Le flux φ est en W/m². Le débit de vapeur Dv est en (kg/s)/m²=kg/m².s.

Pour un bout de paroi de largeur dx, on aura la température et la pression de vapeur qui varient en proportion de ces flux :

La résolution pour la partie chaleur est triviale et abondamment documentée sur le net.

(Le nain : Hé! Ça marche comme les proratas. En vachement moins lucratif, quand même)

Hé hé…. Mouais, c’est pas faux

Dans les diagrammes de Glaser, y compris la mini-bible notre cher Centre Scientifique et Technique du Bâtiment^[2] (la claasse !), on considère classiquement que π_air est constant (c’est nuuul !), ce qui permet de claquer le même genre de résultats très simple que pour la chaleur (Claquer? BASTOOON!)

Nom de bleu! QUI a laissé entrer le barbare ?!? Allez, ouste, dehors !

(CRÔM !)

Oui, oui, il est dehors lui aussi, il t’attend avec ton pote Rahan, et plein de mamouths à dézinguer et, et tout ça…*SLAM!*

(Le barbare : AÏE, j'ai PAS mal!...)

Bon, j’en étais où moi... Ah, oui. La résolution de la partie vapeur avec l’hypothèse habituelle π_air=cste. On va ajouter un petit indice g comme Glaser :

(Le nain : Encore un pro-rata qui rapporte que dalle ? Pfff, on s’en tamponne l’oreille avec une babouche !!! C'est trop nul, j'me casse à la taverne avec le barbare!)

Faites donc ça^[3]...

La formule officielle^[4] pour -on prend une bonne inspiration- la "perméabilité de l'air considéré immobile à la diffusion de vapeur d'eau" est (en kg/m.s.Pa, avec T en Kelvin). Du coup, l’approximation ci-dessus revient imposer dans le calcul une sorte de « perméabilité moyenne »  où Tg est une sorte de « température moyenne » pour la diffusion de vapeur d’eau, située quelque part entre Ti et Te.
Ok. Et alors ? Est-ce que cette approximation tient la route ? Et où se trouve Tg ?

Euh…

…

 (T’as de la chance que le nain soit vraiment parti à la taverne)

Ahem... C’est ce que je me suis dit à l’instant où les mots sont sortis de ma bouche...

(Le ranger : Enfin bon, j’disais ça parce qu’avec ce genre de phrase, d’habitude, on a droit automatiquement à sa vanne la plus foireuse, tu sais : « dans t... »)

Je sais !

(Le ranger : Un peu comme dans la chanson « Troll farceur, Elf farci »)

JE SAIS !

(Le ranger : moi, c’que j’en dis…)

*Grommelle, gromelle* Mais, mais… T’es là depuis combien de temps, toi ?

(Le ranger : Ben, depuis quasiment le début)

Ah ouais, discret, le ranger.

(Le ranger : C’est grâce à ma compétence naturelle de déplacement silencieux!)

C'est cela, c'est cela même... Passons.

Bon. Pour appréhender ce qui se passe sachant que π_air n'est pas constant, on peut soit bidouiller une simulation discrète dans un tableur, soit claquer la résolution formelle de l’équation de diffusion. J’ai fait les deux 
Pour le coup du tableur, ça revient à utiliser directement la toute première équation pour calculer les dPv au coup par coup (par bout de paroi dx), en ajustant globalement Dv pour retomber sur les conditions limites Pvi et Pve. Ben oui : hors Lavoisier, tout ça... C'est pas clair? Ben, s'il n'y a pas de condensation ou d'évaporation, la vapeur d'eau ne se perd pas, elle ne se crée pas, elle ne fait que transiter. Autrement dit, une seule et unique valeur de Dv pour toutes le tranches de la paroi.

On va noter π₀ = 2,0e-7 pour plus de commodité.

(Tiens, c’est pas loin de la constante cosmoploubique qui entre en jeu dans…)

AAAH ! Tu m’as fais peur ! Pétard, mais vous débarquez d’où, tous ????

(La magotte : Ben, j’ai eu comme qui dirait un petit pépin d’interférence latérale du mana spécifique lors du rapprochement des fréquences plasmiques)

(Le ranger : Aaah ! Elle recommence, j’en ai marre !)

(La magotte : C’est sûr que Môssieur préfère se la jouer j’ai une compétence furtive gnagnagna, alors que c’est MOI qui nous ai tous télétransporté ici avec la couronne de Pronfyo.)

(Le ranger : Oui, ben, y’avait pas besoin de lui dire ! Et puis d’abord, faudrait voir à un peu moins la ramener, vu qu’on était censé arriver à Boulgourville, et non dans cet endroit bizzaro...)

Raaah, arrêtez de m’agacer l’esprit ! Vous voyez pas que je suis concentré dans des calculs, là ?

(Magotte + ranger : désolés... )

D’abord, on reformate un poil l’équation de diffusion de la vapeur :

Ensuite, on injecte la formule de la perméabilité de l’air en fonction de la température en x :

C’est une dérivée de la forme (fⁿ)’ = n.f’.f^n-1, qui s’intègre sans difficulté. On obtient la forme générale de la pression partielle de vapeur :

Ensuite, on utilise les conditions limites. Tout d’abord, pour déterminer le flux Dv.

(Akala miam miam)

(La magotte : L’ogre dit qu’il a faim…)

<machinalement> Y’a de la quiche au blettes à réchauffer pour le dîner.

Au passage, on obtiens Tg par identification (toujours en Kelvin) :

(Le ranger : Euh...T'es sûr de toi?)

(La magotte : Bah qu’est-ce que tu aurais voulu que ce soit ? Un ours en deltaplane?)

(Le ranger : J'comprends rien, c'est trop touffu!)

Chut! vous deux. Promis, on est presque au bout de nos peines. Ahem, je parle des calculs, parce que les autres guignols... On réinjecte la valeur de Dv dans la formule de la pression de vapeur, ce qui permet de grandement la simplifier :

Enfin, on boucle la boucle en déterminant A à l'aide des conditions limite. Pour ça, on garde en tête qu'on vise une écriture de Pv qui ressemble un peu à sa formule approximée "façon Glaser" :

Tadaaa! Hé hé, je ne suis pas peu fier sur ce coup là, j'avoue.
Attention, les températures sont encore et toujours en Kelvin.

(La magotte : La classe, ça me rappelle les cours à l'école de Magie avec ma copine. Tiens, d'ailleurs, tu saurais aussi ré-accorder un Géolocalisateur à Perception Subharmonique en fonction des notes crées par les variations telluriques de ton salon?)

Hein ?!?

(Le ranger : Laisse tomber, elle veut juste dire qu’on est encore paumés à cause de son bidulon GPS détraqué...)

Euh, désolé.

Si vous avez encore des envies de calcul formel, vous pouvez chercher à borner la différence entre la formule exacte ci-dessus, et sa formule approximée Pv_{g(x). M’enfin, les calculs précédents étaient déjà bien soporifiques à lire j’imagine, et puis ça me prend quand même nettement plus de temps à écrire sur ordi qu’à griffonner au dos d’une enveloppe usagée ! Alors je vous propose de se reposer les neurones des maths en regardant des zolies courbes en coul...}

(L'ogre : Burp...)

Mmmais...Ma quiche… Mon diner… Mon frigo…

(L'ogre : Huh huh huh, doula!)

(La magotte : Euh… Il te remercie.)

(Le ranger : Désolé, quand il s’ennuie, il faut qu’il mange ou qu’il tape, voire les deux en même temps. Et vu sa carrure, on préfère la 2^e option.)

Mmpfff….

(Si tu veux, on partage une pomme. Mon poney a juste un peu croqué dedans)

Beaurk! Non merci, je crois que je vais faire régime... Entre ça et bizarrement un début de migraine, je vais boucler l'article, et dodo direct.

<soupir> Alors, pour les courbes, l'idée est de tracer le résultat de nos calculs, et comparer ça à la fois à l'approximation usuelle dans les diagrammes de Glaser, et à quelque chose de connu.
J'y ajoute la simulation discrète que j'ai bidouillée sur tableur. Elle consiste à trouver une valeur cible de Dv qui respecte Pv(e)=Pve. La pression de vapeur Pv(x) est calculée pas à pas à partir de Pv(0)=Pvi à l'aide de la toute première formule donnée dans l'article, en prenant bien sûr pour π_air.

(L'elfe : j'ai rien compris, mais j'aime bien les courbes)

(Le ranger : Hum... Moi aussi, j'aime bien ses courbes... Elle me fait frémir cette allumeuse...)

(L´elfe : Qu´est-ce que tu dis ?)

Le Ranger : Je disait qu'à propos de courbes, Boromir m'a toujours pas ramené ma décolleuse.")

(La magotte : N'importe quoi! Quel pervers ce ranger.)

(L'elfe : J'ai rien compris. Moi, je parlais de courbes comme la linéa. Elle me fait trop trop rire. C'est pas de ça dont vous parliez?)

(La magotte + le ranger & moi)  LAISSE TOMBER!

La linéa et le singe

C'est  VRAIMENT des baltringues...

(Le ranger : hein? déjà qu'on comprend pas grand chose, alors en plus si tu marmonnes...)

*tousse* *tousse* Pour tracer ces...graphes, on considère des tranches d'une paroi homogène avec les caractéristiques et conditions suivantes :

• épaisseur totale 50cm, épaisseur d'une tranche 5cm
• λ = 0,7W/m.K, μ = 20
• Ti=20°C, Te = -10°C
• Humidité relative intérieure 60%, et 80% à l'extérieur

Et, comme courbe connue, on prend tout simplement la pression de vapeur saturante.

Valeurs obtenues

φ	42W/m²
Tg	4,76°C
πair,g = πair(T=Tg)	1,88e-10 kg/m.s.Pa
Dv pour πair(T,P) forcé à πair,g	2,2503767e-8 kg/m².s
Dv ajusté à la main pour Pv calculé pas à pas	2,2602348e-8 kg/m².s
Dv issu du calcul direct	2,2503767e-8 kg/m².s

Courbes de pression de vapeur (Pvsat, Pv dans l'approximation pi_air constant, Pv ajusté à la main, Pv calculé selon la formule ci-dessus)

On voit que l'approximation π_air constant est plutôt bonne.

On remarque aussi que Pvsat croise Pv, ce qui est censé traduire de la condensation à coeur. Alors que si on avait tracé une droite comme d'habitude, il n'y en aurait pas. Pas de panique!
En gros, le modèle de Glaser dit que c'est négligeable car l'éventuel plan de condensation serait en réalité essentiellement repoussé à l'interface froide. La réalité est plus complexe et dépend de la capillarité des matériaux. Mais bon, ça, c'est l'enjeu de la simulation dynamique style DELPHIN, hygIRC, MOIST, WUFI. Dans notre cadre, on retiendra juste qu'on peut voir ce truc ou passer à côté selon la façon dont on tourne le modèle de Glaser, mais qu'il n'y a pas lieu se couper les cheveux en quatre dans le sens de la longueur.

(L'elfe : une fois, on a essayé sur un poney avec les copines de ma forêt. On n'a pas réussi, et il a fallu passer le reste de la journée à recoiffer le pauvre poney)

(Le ranger : Pfff... On s'en fout!)

Argl... Humpf... On, enfin, je parlais de quoi déjà? Ah oui, les courbes.
On va rendre les écarts entre courbes plus lisibles en regardant "l'erreur" relative, c'est à dire :

"courbe candidate" / "formule exacte" - 1

Erreur relative vis à vis de la formule exacte de Pv

Au final, on voit que l'approximation de la pression partielle de vapeur Pv(x) par une droite dans les diagrammes de Glaser conduit à une erreur inférieure à 2%. Et que l'approximation de Pvsat par une droite a un effet plus important que ça. Ca valide que l'affirmation que Pv(x) est une droite est formellement fausse, mais c'est pas bien grave. CQFD.

En passant, on note que la courbe Pv "à la main" est franchement excellente! Même si la valeur "manuelle" du débit de vapeur laisse à désirer. La raison est que j'ai utilisé la température à la position x pour le calcul d'un pas de Pv(x). Pour des tranches épaisses de 5cm et une paroi de 50cm d'épaisseur totale, c'est un choix peu trop grossier. On aurait eu une bien meilleure approximation de Dv en utilisant T(x+dx/2).

(L'elfe : j'ai rien compris du tout. Je préfère le dessin, mais si j'y ai rien compris non plus. C'était une devinette de mon copain Gribouille?)

Gribouille, le vrai, celui qui émerveille l'imagination et la communication. Pas l'ersatz en dessin animé.

<GROS soupir> j'ai mal au crâne, mais alors mal au crâne...

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Dédicace spéciale à Christophe Izard et son équipe de l'ïle aux enfants,
même si certains personnages me tapait littéralement sur les nerfs...

Un grand MERCI à John Lang, Marion Poinsot, et au Naheulband,
en espérant que vous ne me tiendrez pas rigueur pour ces quelques emprunts.

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[1] NF EN ISO 13788, "Performance hygrothermique des composants et parois de bâtiments. Température superficielle intérieure permettant d’éviter l’humidité superficielle critique et la condensation dans la masse".

[2] CSTB09, guide technique "Transfert d'humidité au travers des parois", page 29, à propos du diagramme de pression partielle de vapeur d’eau à l’intérieur de la paroi où la température change, c'est à dire le diagramme de Glaser : "D’après le paragraphe précédent, il s’agit de la droite pν,int - pν,ext".
*Tousse* *tousse* Le hic, c'est que le paragraphe précédent parle du cas isotherme, et que rien ne prouve et n'explique pourquoi ça serait une droite. Pour un guide qui se veut pointu et précis pour pas dire carrément compliqué, et qui "rappelle" 10 pages avant que la perméabilité de l'air varie en fonction de la température (norme DIN 52615), ça la fout mal.
Désolé si ça fait grincer des dents, m'sieur-dames du CSTB, mais vous vous êtes bel et bien foutu dedans en rédigeant ce paragraphe à la va-vite. Lors d'une prochaine ré-édition, ça serait bien de rectifier. Il suffit juste de mettre une note de bas de page indiquant que c'est une approximation suffisante, ou un truc du même goût...

[3] Réplique de Ripley (Sigourney Weaver) à l'androîde Bishop (Lance Henriksen) dans Aliens, le retour.

[4] Norme DIN 52615 "Determination of water vapour permeability in building materials and insulation products" de November 1987, reprise dans la formule n°10 page 15 Künzel95, publication elle-même reprise dans le guide pré-cité CSTB09.